20. Changement de variable d'un polynôme avec racine carrée

Introduction

Encore une équation, un type d'équations un petit peu pervers et qui traînent beaucoup dans les contrôles. Je vous rappelle que vous savez résoudre les équations polynomiales de degré deux. Par exemple, si j'avais eu \(x^2 - 5x + 3 = 0\), vous calculez le delta, vous calculez vos racines et l'exercice est terminé. Sauf que là, on a \(x^2\) et on n'a pas \(x\), donc on va devoir utiliser la technique du changement de variable.

Changement de variable

La technique du changement de variable consiste à changer ma variable, résoudre, puis rechanger. Il va falloir que vous vous entraîniez à faire ces changements de variables, car en contrôle, soit on va vous le donner, soit on ne vous dira rien comme dans cet exercice, c'est-à-dire, débrouillez-vous pour résoudre ça. Le changement de variables n'est pas compliqué. Vous voulez vous ramener à un polynôme de degré 2, donc vous savez que ça, vous voulez que ça soit \(x^2\). Donc pour que ça soit le cas, il faut poser \(X = \sqrt{x}\), car vous remarquez que \(\sqrt{x}^2 = x\) (car \(\sqrt{x}\) est positive). Donc si je pose \(X = \sqrt{x}\), c'est-à-dire si je fais mon changement de variable, mon équation devient \(X^2 - 5\sqrt{x} + 3 = 0\). Et voilà comment en une étape, je me suis ramené à un système que je sais résoudre, c'est-à-dire \(x^2 - 5x + 3 = 0\).

Résolution du système

Pour résoudre ce système qui est un polynôme du degré 2, on va d'abord calculer le delta qui vaut \(b^2 - 4ac = 25 - 4*1*3 = 25 - 12 = 13\). Donc, on a deux solutions \(X_1\) et \(X_2\), c'est-à-dire \(X_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{13}}{2*1} = 2\) et \(X_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{13}}{2*1} = 3\). J'ai résolu mon système, sauf que l'équation à résoudre n'était pas celle-ci. On était passé par le changement de variable. Donc après avoir fait le changement de variable, il va falloir le défaire, c'est-à-dire que dans un premier temps on a remplacé \(\sqrt{x}\) par \(X\), et maintenant on va remplacer \(X\) par \(\sqrt{x}\). Donc notre système après avoir défait le changement de variable devient \(\sqrt{x} = 2\) et \(\sqrt{x} = 3\).

Fin de la résolution

Comment est-ce que je vais aller au bout de ça ? En cherchant le nombre \(x\) tel que quand je prends sa racine, ça me donne 2, soit \(x = 2^2 = 4\), et le nombre \(x\) tel que quand je prends sa racine, ça me donne 3, soit \(x = 3^2 = 9\). Donc mes deux solutions sont \(x = 4\) ou \(x = 9\). Si vous vous contentez de cette explication, vous n'arriverez jamais à le faire. C'est vraiment des exemples qui viennent en faisant. On vous amène une liste d'exercices en dessous et je vous conseille très fortement de vous en tâter un ou deux pour être sûr que votre cerveau enregistre tout ça.