14. Résoudre une inéquation du second degré par comparaison de deux trinômes

Introduction

On enchaîne avec un type d'inéquation du second degré légèrement différent de ce que vous avez l'habitude de voir. Ici, j'ai un polynôme inférieur à un autre polynôme. Ce que j'aimerais vraiment que vous reteniez, c'est que la seule technique que vous avez pour résoudre une équation du second degré, c'est quand vous avez quelque chose inférieur à zéro. Pourquoi ? Parce que quand vous avez une équation de ce type, vous pouvez faire un tableau de signes pour trouver la solution.

Première étape : Transformation de l'équation

La première étape, chaque fois que vous vous retrouvez face à une équation comme ça, c'est de ne pas paniquer et de vous dire : "Ce n'est pas compliqué, cette équation, je vais la transformer en quelque chose inférieur ou supérieur à zéro". Comment je vais faire ? Tout simplement, je vais prendre tout ce qui est ici et je vais l'envoyer de l'autre côté. Donc je recopie ce que j'ai là : \(x^2 - x - 4\), et je veux envoyer le \(-x^2\) de ce côté là. Donc vu qu'il est \(-x^2\), il va devenir \(+x^2\) et \(-x\) quand je l'envoie de l'autre côté, donc j'obtiens \(x^2 + x - 4 \leq 0\).

Deuxième étape : Résolution de l'équation

Maintenant, je trie : \(2x^2 + 2x - 4 \leq 0\). Vous vous êtes ramené à une équation que vous savez résoudre. Premièrement, je calcule les racines. Pour ça, je calcule le déterminant. Le déterminant ici vaut \(2^2 - 4 \times 2 \times -4\), soit \(4 + 32 = 36\). Cela me donne deux racines : \(-2\) et \(1\). Une fois que j'ai ça, je peux dresser mon tableau de signes. Avec ici \(x\) et ici mon polynôme. \(x\) va de \(-\infty\) jusqu'à \(+\infty\), mais mes racines, c'est-à-dire \(-2\) et \(1\), je les mets dans la barre du \(x\). Ensuite, je sais que mon polynôme pour ces racines vaut zéro. Ensuite, je regarde le signe de \(a\). Donc mon polynôme, c'est celui-là, donc \(a\) est positif. Donc le polynôme a le signe de \(a\) à l'extérieur des racines, c'est-à-dire ici. Donc il est positif ici et ici, il est donc négatif au milieu. J'ai mon tableau de signes, je peux donner directement la solution. Quand est-ce que j'ai la solution ? Je veux savoir quand ce polynôme est inférieur ou égal à zéro. Je regarde mon tableau, quand est-ce que mon polynôme est inférieur ou égal à zéro ? C'est bien quand il est négatif, donc c'est ici. Ma solution s'écrira donc : \([-2, 1]\). Allez, à vous de jouer avec les exercices maintenant.