8. Résoudre une équation quotient de deux polynômes du second degré

Introduction

Allez les amis, on continue notre exploration des polynômes du second degré. On se dit, quand on a une équation qu'on nous demande de résoudre et qui s'affiche comme ça : \( \frac{x^2 + x -6}{3x^2 - 2x + 1} = 0 \), comment est-ce que je fais pour me sortir d'une situation comme ça ? Vous allez voir que c'est excessivement simple.

Comprendre l'équation

Ce coup-ci, on a non pas un \(AB\) qui est égal à 0, mais on a \( \frac{A}{B} \) qui vaut 0. En effet, ce quotient, c'est comme si j'avais un nombre divisé par un autre. Quand on a un \(AB\) qui est égal à 0, c'est soit le premier, soit \(A\), soit le deuxième, c'est à dire \(B\), qui est égal à 0. Quand j'ai un quotient, quand j'ai un \( \frac{A}{B} \) qui est égal à zéro, la seule, l'unique possibilité, c'est que \(A\) soit égal à 0. Pourquoi ? Parce qu'on ne peut pas diviser par 0, ça vous le savez. Du coup, quand j'ai un \( \frac{A}{B} \) qui vaut 0, quand j'ai un \( \frac{x^2 + x - 6}{3x^2 - 2x + 1} \) qui vaut 0, c'est forcément celui-là qui est égal à 0, c'est à dire c'est forcément \(x^2 + x - 6\) qui est égal à 0.

Résoudre l'équation

Du coup, pour régler cette équation, j'ai juste à me demander mais finalement, quand est-ce que \(x^2 + x - 6\) est égal à 0 ? Et là, on se ramène à ce qu'on sait faire parfaitement. On a notre petit \(A\) qui est là, on a notre petit \(B\) qui est là, notre petit \(C\) qui est là. Je calcule mon Delta qui vaut \(B^2 - 4AC\), c'est à dire \(1 - 4 \times 1 \times -6\), ça me fait \(1 + 24\), ça fait 25, formidable, c'est un carré parfait. Ça veut dire que mes solutions, ça sera \(X1 = -B - \sqrt{25} / 2A\), c'est à dire sur deux points 2, ça me fait \(-1 - 5 / 2\), ça me fait tout simplement -3. Et de la même manière, je trouve mon \(X2\) qui vaut \(-1 + \sqrt{25} / 2\), et ça, ça me fait \(-1 + 5 / 2\), et ça me fait 2. J'ai donc deux solutions qui sont ici.

Vérification des solutions

Attention, parce que ce n'est pas terminé. Dans ces moments-là, il y a une deuxième étape à faire. En effet, regardons de plus près cette expression là. Quand j'ai un polynôme divisé par un autre, je vous rappelle que les polynômes, on peut les écrire sous la forme \(x - 3\), \(x + 2\), ça, ça s'appelle la forme factorisée. Pareil pour le polynôme du bas, \(x - 1\) multiplié par \(x + 3\), tous les polynômes peuvent s'écrire de cette manière. Or, qu'est-ce qui se passe si par hasard je me retrouve avec ça, c'est à dire un \(x-3\) en haut, un \(x-3\) en bas ? Ça va se simplifier. Autrement dit, quand vous allez calculer les solutions du polynôme égal à 0, c'est à dire quand vous allez calculer ces racines là, il faut absolument que vous vérifiez au préalable si ces deux racines là ne sont pas aussi solution du polynôme qui est en dessous, auquel cas ça risquerait de se simplifier et auquel cas ça ne serait plus une solution de l'équation. Donc, ce qu'on fait, c'est qu'on regardera rapidement si -3, quand je le mets ici, ça annule le polynôme et si deux, quand je mets ici, ça annule mon polynôme. Donc, je redescends sur ma page en dessous et je calcule \(-3\) mis dans l'équation, ça fait \(3 \times (-3)^2 - 2 \times -3 + 1\), ça me fait \(3 \times 9 = 27 + 6 + 1\), ça me fait 34. Ok, la première racine, elle n'annule pas le polynôme du dessous. La deuxième racine, le 2, bah \(3 \times 2^2 - 2 \times 2 + 1\), ça me fait \(3 \times 4 = 12 - 4 = 8 + 1 = 9\). J'ai bien ces deux nombres là, celui-ci et celui-ci, qui ne sont pas égal à 0. Donc, les racines que j'ai trouvé, c'est bien les racines de uniquement le numérateur, donc c'est bien les solutions de mon équation. On vous a mis plein d'exercices en dessous, avec notamment des pièges. À vous de jouer, vous êtes des champions.