4. Passer de la forme canonique à factorisée sans utiliser le discriminant

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment gérer ce genre d'exercice : donner la forme factorisée d'un polynôme qu'on vous a donné sous forme canonique. Pourquoi est-ce que c'est un exercice plus compliqué que ce qui n'y paraît ? Parce qu'il y a une technique de bourrin quand il s'agit de passer d'une forme canonique, c'est-à-dire une forme avec du \(3x - 1^2 - 25\), qui en fait une forme avec du \(a(x - \alpha)^2 + \beta\), à une forme \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) qui est la forme canonique.

Forme canonique

Donc la forme canonique, pour certains, c'est la première fois que vous la voyez. C'est juste une nouvelle manière de noter le polynôme. C'est à dire qu'on va garder le même nombre qui est là, le \(a\), que vous retrouverez, ça sera le même \(a\) qui est ici. Par contre, on va faire intervenir deux nouvelles variables qui sont \(x_1\) et \(x_2\), qu'on appelle les racines et qui sont des éléments déterminants du polynôme.

Passage de la forme canonique à la forme factorisée

Comment est-ce qu'on va faire ça ? Il y a une technique de bourrin pour ceux qui ont déjà vu le déterminant, c'est de passer par \(\Delta\) et de trouver \(x_1\) et \(x_2\). Cette technique, premièrement, elle marche que si vous avez vu le déterminant et \(x_1, x_2\), ce qui n'est pas le cas de tout le monde parce que la plupart des profs vont le faire en deux coups : d'abord la forme développée et la forme canonique, puis la forme factorisée avec \(x_1, x_2\). Et puis ça implique de prendre ce polynôme là, de le développer complètement, de trouver \(A, B, C\), une fois qu'on a trouvé \(ABC\), il va falloir calculer le déterminant, calculer les deux racines, bref c'est extrêmement compliqué. Nous, ce qu'on va avoir dans cette vidéo, c'est comment passer directement de la canonique à la factorisée. Et en fait, c'est très intéressant parce que c'est comme ça que plus tard vous redémonterez les formules avec \(\alpha, \beta, x_1\) et \(x_2\). Comment est-ce qu'on va faire ça ? On va prendre notre temps parce que c'est un calcul qui est assez compliqué et on va progressivement développer notre calcul pour arriver à une forme factorisée.

Étapes de la factorisation

Première étape, on va factoriser par le nombre qui est situé devant notre \(x - \text{quelque chose}^2\). Donc ici, je sais que mon objectif c'est de faire trois facteurs de j'ouvre décroché un gros quelque chose. Là, il y a deux techniques : soit vous voyez directement que \(27\) en fait c'est \(3 \times 9\), donc là plutôt que d'écrire \(27\) je peux écrire \(3 \times 9\) et dans ce cas, ça veut rien dire et dans ce cas le facteur, comment on se rend compte tout de suite que c'est le \(3\). Donc j'ai un \(3\) ici, là j'ai un \(3\), là j'ai un \(3\) et j'ai plus qu'à recopier ce qui reste, c'est à dire j'ai plus qu'à dire que c'est \(x - 1^2 - 9\). Deuxième étape, ça va être de faire apparaître une identité remarquable du style \(a^2 - b^2\). Pour ça, il va falloir reconnaître qu'ici on a un carré. Donc je vais recopier légèrement ma ligne, je garde mon \(3\), je garde mes crochets, mon \(x - 1^2\) je le touche pas, sauf que neuf, je vais écrire que c'est \(3^2\). Et maintenant je suis extrêmement content, pourquoi ? Parce que là j'ai fait apparaître un \(a^2 - b^2\) et vous savez très bien que \(a^2 - b^2\) c'est une identité remarquable et que cette identité remarquable elle vous donne \(a - b)(a + b)\).

Conclusion

Donc première étape, on factorise, on prend notre petit \(3\), on le met devant une parenthèse. Deuxième étape, on va faire apparaître une identité remarquable en faisant apparaître des carrés. Troisième étape, on va développer cette identité jusqu'à ce qu'on arrive à une forme \(a(x - x_1)(x - x_2)\) qui est la forme factorisée du polynôme qui en réalité la forme la plus utile parce que encore une fois la forme canonique elle sert quasiment à rien parce que vous allez dériver très rapidement alors que la forme factorisée c'est celle qui est vraiment importante. On vous a mis plein d'exercices en dessous qui ressemblent à celui-là, à vous de jouer, vous êtes des champions.