Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3

Introduction

Allons, les amis, nous allons étudier un cas un peu compliqué de permutations : la permutation quand, dans votre ensemble, vous avez deux éléments qui sont identiques. On parle d'un exercice type comme celui-ci : un cirque possède un lion, un zèbre, un éléphant et un lapin. De combien de manières différentes peut-il les afficher sur son affiche promotionnelle ?

Comprendre le problème

Donc, on se demande combien d'éléments a l'ensemble des animaux dans ce cas. L'ensemble contient cinq animaux. Est-ce que l'ordre compte ? Oui, évidemment. Si vous mettez le lapin à côté du lion, ce n'est pas la même chose que si vous mettez la girafe à côté du lion ou le zèbre à côté de l'éléphant. Donc, l'ordre compte. Est-ce qu'il y a une remise ? Non, il n'y a pas de remise. On ne peut pas prendre un zèbre puis un autre zèbre. Enfin, dernière question, est-ce que c'est tout l'ensemble ou seulement une partie de l'ensemble ? Oui, c'est tout l'ensemble, parce qu'il faut que les cinq animaux soient sur l'affiche.

Calcul des permutations

On aurait l'impression que la formule du résultat serait \(n!\), qui ici serait \(5!\) vu que j'ai cinq animaux. Sauf que, regardez ce qui se passe quand vous avez par exemple un lapin, un lion, un zèbre et une girafe. Si vous comptez toutes les manières différentes de permuter les éléments, vous allez compter certaines permutations deux fois. Par exemple, si vous permutez deux éléments qui sont identiques, c'est comme si vous ne changez pas vraiment l'ensemble. La permutation du coup, je ne veux pas la compter deux fois. Quand vous avez une permutation avec \(r\) éléments identiques, ce qui s'affiche en haut à droite sur la fiche, ça va être non pas \(n!\) mais \(n! / r!\) avec \(r\) le nombre d'éléments identiques. Donc ici, ça va être \(n! / 2!\) parce que j'ai deux éléments identiques. Et si j'avais deux lapins mais que j'avais aussi par exemple deux lions, ça serait \(n! / (2! \times 2!)\) pour ces deux paires. Et s'il y en avait trois, ça me ferait \(n! / (2! \times 3!)\) pour ces trois paires, et ainsi de suite. Cela sert beaucoup dans les anagrammes. On vous a mis des petits exercices en dessous, à vous de jouer. Vous êtes des génies !