15. Suite arithmético-géométrique avec paramètre

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir les suites arithmétiques et géométriques avec un paramètre, qui sont probablement les exercices préférés en contrôle des profs de terminale. Ce qu'on a vu dans la vidéo juste avant, c'est apprendre à gérer une suite arithmétique ou géométrique, c'est-à-dire une suite qui n'est pas \(u_{n+1} = u_n + 0.75\) et d'affiner pas géométrique, une suite qui n'est pas arithmétique. C'est l'ère où \(u_{n+1} = u_n + c\). Vous voyez qu'on avait deux éléments à la fois \(0.75\) et \(c\), qui pourrait nous faire penser d'un côté à une suite géométrique, de l'autre côté à une suite arithmétique. Or ces suites là ne sont ni l'une ni l'autre, elles sont arithmétiques ou géométriques. Difficulté supplémentaire, ce n'est pas \(0.75u_n + 3\), \(0.75u_n + c\) avec \(c\) qui appartient à \(R\). Donc on ne vous a même pas donné la valeur de la constante et pourtant vous allez voir que ça fonctionne exactement pareil.

Première étape

Première étape, on ouvre sur une nouvelle suite \(v_n\) qui va lui être plus ou moins quelque chose au monde qu'elle et géométrique, et on va exprimer \(v_n\) en fonction de \(u_n\). Ensuite, une petite question qui va vous permettre de trouver la valeur de \(c\). Mais alors, pour montrer qu'une suite est géométrique, je vous renvoie au programme de première. On part de \(v_{n+1}\) égale, on travaille, on travaille, on travaille et à la fin on a quelque chose fois \(v_n\). Donc je prends mon énoncé \(v_{n+1}\), finalement des formules j'en ai que une, deux et trois, donc forcément je vais me servir d'une, deux ou de trois de ses formules.

Deuxième étape

Donc je commence, je vais \(u_{n+1}\), laquelle de ces formules est la plus à même de me donner \(v_{n+1}\) ? Probablement celle là, c'est la seule où on a du \(v_n\). Donc si \(v_n = u_n - 4c\), \(v_{n+1} = u_{n+1} - 4c\). C'est \(u_{n+1} - 4c\). Je retourne à mon énoncé, qu'est-ce que j'ai comme autre possibilité ? Tiens, \(u_{n+1} = 0.75u_n + c\). Donc je vais remplacer ce bout-là par \(0.75u_n + c - 4c\). À formidable, \(0.75u_n + c - 4c\) et ça fait \(0.75u_n - 3c\). Vous voyez comme c'est pratique de souligner les formules qu'on a dans les énoncés en maths, c'est vraiment essentiel.

Troisième étape

Ensuite, la technique c'est toujours la même, celle que nous avons vue en première, c'est ce qu'on a vu dans la vidéo avant et qu'on va revoir là, c'est que vous voulez qu'à la fin \(v_{n+1}\) soit quelque chose fois \(v_n\). Donc en fait vous voulez arriver à quelque chose fois \(u_n - 4c\). Or vous, vous avez \(u_n - 3c\) fois \(0.75\). Donc ce qu'on va faire, c'est qu'on va factoriser par \(0.75\) pour être sûr que ce qu'on va avoir c'est \(0.75(u_n - \text{quelque chose})\). Donc comment est-ce qu'on fait pour factoriser par \(0.75\) sachant qu'il n'y a pas de \(0.75c\) ? C'est une technique que vous avez vue dans les limites, c'est une technique que vous avez vue en première qu'on va revoir ici. Moi je veux factoriser par \(0.75\), je ne me prends pas la tête, je le mets. Bon, \(0.75\), j'ai le droit de faire ça ou pas ? Non, je n'ai pas le droit de multiplier par \(0.75\) sauf si derrière je divise aussi par \(0.75\), auquel cas c'est comme si je n'avais rien fait. Donc je me retrouve avec \(0.75(u_n - 3c)/0.75\), donc \(u_n - 3c/0.75\). Et là je vous le donne dans le mille, \(3/0.75\) ça fait en fait quatre. Donc j'ai bien \(u_n - 4c\), c'est lui et moi, c'est avec \(0.75u_n\), donc \(v_n\). Donc je le retrouve avec \(0.75v_n\), formidable. Je suis parti de \(v_{n+1}\), je suis arrivé à \(0.75v_n\), donc \(v_n\) est une suite géométrique. Et du coup, j'ai le droit d'écrire que \(v_n = v_0 \times 0.75^n\). Sauf que \(v_0\), je sais que \(v_0 = u_0 - 4c\), c'est \(u_0 - 4c \times 0.75^n\). Formidable, j'ai exprimé \(v_n\) en fonction de \(n\).

Quatrième étape

Deuxième question, en déduire la valeur de \(c\) pour que la limite de \(u_n\) soit égale à 100. Donc là, si j'avais été sympa, j'aurais rajouté une question du lieu qui aurait été exprimée \(u_n\) en fonction de \(n\). Pourquoi ? Maintenant vous avez \(v_n\) en fonction de \(n\), vous avez cette formule là qui vous dit que \(v_n = u_n - c\). Mais si je passe mon \(c\) de l'autre côté, je sais que \(u_n = v_n + 4c\). Sauf que \(v_n\), je viens de le calculer en fonction de \(n\), c'est \(u_0 - 4c \times 0.75^n + 4c\). Et j'ai bien \(u_n\) en fonction de \(n\). Et maintenant, si je fais un petit calcul de limites, la limite de \(u_n\) quand \(n\) tend vers l'infini, c'est la limite de \(v_n\) quand \(n\) tend vers l'infini plus \(4c\). Or ce truc là, \(u_0 - 4c\), ça reste \(u_0 - 4c\), \(0.75^n\), on est sur une limite de la forme \(q^n\) avec \(q\) qui est compris entre -1 et 1, donc ça tend vers zéro et ça, ça bouge pas, ça fait \(4c\). Donc je me retrouve avec \(u_0 - 4c \times 0 + 4c\), or moi je veux que cette limite elle va à 100, donc c'est il faut que je passe mon \(c\) de l'autre côté, \(100/4 = c\), j'encadre et c'est terminé.

Conclusion

La difficulté de cet exercice, au même titre que quand on l'a fait d'une manière simple, c'est-à-dire où vous n'aviez pas \(c\), mais vous aviez un nombre, elle est double. Premièrement, d'arriver à faire cette factorisation et deuxièmement, d'arriver à exprimer \(u_n\) en fonction de \(v_n\) et du coup, réutiliser ce qu'on va trouver de \(v_n\) en fonction de \(n\) pour le remplacer pour avoir \(u_n\) en fonction de \(n\). Une fois que vous avez fait ça, l'exercice est plié. Ça, ça tombe au contrôle, je ne vais pas vous mentir, ça tombe au contrôle. Donc on vous a mis des exercices en dessous avec différentes variations autour du même principe. Entraînez-vous jusqu'à ce que vous en réussissiez au moins un parfaitement et ça sera 5 ou 6 points gagnés sur le contrôle. Je suis sérieux, vous êtes votre meilleur atout.