Introduction
Allons-y, nous allons aborder un exercice typique du contrôle qui consiste à démontrer par récurrence que la dérivée énième d'une fonction \(f(n)\) est égale à une formule en fonction de \(n\). Je vous rappelle les trois étapes pour commencer une récurrence.
Étapes de la récurrence
La première étape consiste à déterminer ce que nous devons démontrer. La deuxième étape consiste à déterminer pour quelle valeur de \(n\) nous devons le faire. Et la troisième étape consiste à déterminer comment nous allons y parvenir.
Dans cet exercice, nous devons démontrer que la dérivée \(n\)ième de \(x\) est égale à \(n!\) sur \(1 - x^{n+1}\). Pour quelle valeur de \(n\) ? Pour tout \(n\) supérieur ou égal à un. En effet, si on s'intéresse à la dérivée \(n\)ième, la dérivée n'a de sens que pour la dérivée première, qui est la dérivée que vous connaissez, puis la dérivée seconde, la dérivée troisième et ainsi de suite jusqu'à la dérivée \(n\)ième.
Processus de démonstration
Comment allons-nous démontrer cela ? Malheureusement, l'énoncé ne donne pas beaucoup d'autres informations. C'est tout ce que nous avons et c'est ainsi que nous allons le faire. Je vous rappelle les quatre étapes de la récurrence.
La première étape consiste à écrire \(P(n)\), c'est-à-dire ce que nous voulons démontrer. La deuxième étape est l'initialisation. La troisième étape est l'hérédité. La quatrième étape est la conclusion.
Nous commençons avec notre \(P(n)\), c'est-à-dire ce que nous voulons démontrer ici. Ce que nous voulons démontrer, c'est que la dérivée \(n\)ième de \(x\), c'est-à-dire que lorsque je prends \(f\) et que je le dérive \(n\) fois, cela donne \(n!\) sur \(1 - x^{n+1}\), c'est mon \(P(n)\).
Nous commençons par l'initialisation, donc l'initialisation est ok. Donc c'est de dire que \(P(1)\) est vrai. Car maintenant, il faut que je montre que \(P(1)\) est vrai. Donc qu'est-ce que \(P(1)\) ? Cela consiste à dire que la dérivée première est \(1!\) sur \(1 - x^{2}\).
Ensuite, nous passons à l'étape de l'hérédité. Supposons qu'il existe un entier \(n\) appartenant à \(N\) tel que \(P(n)\) soit vrai. Montrons que \(P(n+1)\) est aussi vrai.
L'avantage de cette phrase, c'est qu'elle vous donne à la fois le point de départ vu qu'on dit supposons que \(P(n)\) soit vrai, on part de \(P(n)\) et vu qu'on veut montrer que \(P(n+1)\) est vrai, on va arriver à \(P(n+1)\). Autrement dit, on va partir de la dérivée \(n\)ième de \(x\) qui est \(n!\) sur \(1 - x^{n+1}\). On va travailler, travailler, travailler, et à la fin on va arriver à la dérivée \(n+1\)ième de \(x\) qui est \((n+1)!\) sur \(1 - x^{n+2}\).
Conclusion
Cela peut tomber au contrôle ou au bac si vous tombez sur un bac difficile. Dans tous les cas, ça vaut le coup de s'entraîner pour maîtriser tous ces calculs avec les factorielles et pour bien comprendre que dériver la dérivée \(n\)ième, ça nous amène à la dérivée \(n+1\)ième. Des exercices sont disponibles en dessous pour vous entraîner.