15. Voir l'indépendance avec un arbre

Introduction

Allez, on est parti pour la dernière vidéo de ce chapitre : comment déterminer si des événements sont indépendants en utilisant les probabilités conditionnelles.

Formule de l'indépendance des événements

La formule s'affiche à côté de moi. Pour que deux événements \(A\) et \(B\) soient indépendants, il faut que \(P(B|A)\) soit égal à \(P(B|\overline{A})\) et que \(P(B|\overline{A})\) soit égal à \(P(B)\).

Exercice d'application

Je vous propose un petit exercice. Calculons \(P(B)\). Comment est-ce qu'on va calculer \(P(B)\) ? Grâce à la loi des probabilités totales. \(P(B)\) est la probabilité de tous les chemins qui mènent à \(B\). Donc \(0.2 \times 0.3 + 0.8 \times 0.3\). Ça me fait \(0.06 + 0.24\) et ça fait \(0.3\). \(P(B|A) = 0.3\), \(P(B|\overline{A}) = 0.3\) et \(P(B) = 0.3\). Donc on l'a bien : \(P(B|A) = P(B|\overline{A}) = P(B)\).

Interprétation graphique

Maintenant, comment est-ce que vous auriez pu le voir graphiquement ? Regardons dans l'histoire qu'on raconte. C'est ça : quand l'événement \(A\) est vrai, la probabilité de \(B\) est \(0.3\). Quand l'événement \(A\) n'est pas vrai, la probabilité de \(B\) est aussi \(0.3\). Autrement dit, que \(A\) soit vrai ou pas, la probabilité de \(B\) est toujours \(0.3\). Donc \(B\) se contrefout de savoir ce qui arrive à \(A\). \(B\) se fiche de ce qui arrive à \(A\). C'est ce qui signifie que \(A\) et \(B\) sont indépendants. À vous de jouer maintenant, mes amis. Des exercices sont disponibles en dessous.