Introduction
Allez les amis, on est parti pour un exercice ultra classique au contrôle, c'est-à-dire trouver les valeurs de \(m\) tel que deux vecteurs soient orthogonaux. On s'y met tout de suite.
Principe de base
Je vous rappelle quelque chose que vous savez : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut zéro. C'est cette condition là qu'on va utiliser pour trouver la valeur de \(m\). On sait qu'ils sont orthogonaux, donc leur produit scalaire vaut zéro. Maintenant, on va travailler par équivalence jusqu'à ce qu'on arrive à une valeur de \(m\).
Une manière d'écrire le produit scalaire, c'est d'utiliser la formule des coordonnées. Donc, de façon simple, cela donne : \(m \times m + 2 \times 4 = 0\). Je continue : \(m^2 + 8 = 0\). Ça, c'est une équation du second degré.
Résolution de l'équation
On aime ça, je pourrais écrire : \(-m^2 + 0 \times m + 8 = 0\). C'est une équation du type \(ax^2 + bx + c = 0\), je sais résoudre ça. Mon delta, noté \(b^2 - 4ac\), est donc \(0 - 4 \times (-1) \times 8\), donc \(+ 4 \times 8\). Il est positif, j'ai donc deux racines qui sont non pas \(x_1\) et \(x_2\) (car on a la variable \(m\)), mais \(m_1\) qui vaut \(-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(m_2\) qui vaut \(+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\).
Si vous vous demandez comment j'ai fait ça, allez voir la vidéo là sur le second degré. Le second degré, c'est vraiment quelque chose dont on se sert tout au long de l'année, c'est pour ça qu'on le voit en premier.
Et c'est bon, vous avez vos deux solutions : soit \(m_1 = \frac{\sqrt{32}}{2}\) ou alors \(m_2 = -\frac{\sqrt{32}}{2}\). J'ai bien trouvé deux valeurs de \(m\) tel que cette équation soit vraie. Donc, si \(m = \frac{\sqrt{32}}{2}\) ou \(m = -\frac{\sqrt{32}}{2}\), on a bien vu que le produit scalaire vaut 0, donc les vecteurs sont orthogonaux.
Conclusion
Elle s'est terminée. Vous allez avoir, dans les cas faciles, un polynôme du second degré. Dans les cas plus embêtants, non, en fait c'est le pire que vous avez, c'est un second degré. Vous aurez soit des fonctions affines, soit des second degrés. À vous de jouer, on veut quand même plein de commentaires en dessous, ça tombe au contrôle.