Introduction
On continue nos petites compétences de dérivation avec cette fois-ci des dérivations sur des polynômes du second degré. Je vous donne une fonction polynôme du second degré, je vous demande de me donner la valeur du nombre dérivé de \(f\) en \(2\). Si je vous dis ça, c'est que je suppose que cette fonction est déjà dérivable. Donc je suppose que la limite que je veux obtenir quand je vais calculer le taux de variation, elle ne sera pas infinie. C'est parti ici, mais vous allez voir que le second degré ne présente pas de difficultés particulières, si ce n'est qu'il faut être très rigoureux et ne pas se tromper dans les calculs.
Calcul de la dérivée
Donc je commence par calculer \(f(2)\), ça me fait deux fois \(2^2\) plus cette fois-ci \(-10 \times 2\) et ça me fait \(4\). Donc ça fait \(8 - 20 + 4\), ça me fait \(12\), \(f(2)\) pas de problème.
Maintenant, \(f(2 + h)\) ça fait donc deux fois, cette fois-ci pas \(2^2\) mais \((2 + h)^2\) plus cette fois-ci \(-10 \times (2 + h)\). Donc, \((2 + h)^2\) ça me fait, grâce aux identités remarquables, \(4 + 4h + h^2\). Ensuite, je développe \(-10 \times (2 + h)\), donc \(-20 - 10h\).
On continue, \(4 + 4h + h^2 - 20 - 10h\), ça me fait \(h^2 + 4h - 16\).
Calcul du taux de variation
Maintenant, je calcule le taux de variation entre \(2\) et \(2 + h\), donc \([f(2 + h) - f(2)] / h\). Et ça, ça me fait donc \((h^2 + 4h - 16 - 12) / h\), c'est-à-dire \(h^2 + 4h - 28 / h\).
En haut, il y a une factorisation possible parce que \(h^2\) et \(4h\) ont un facteur commun \(h\). Donc je vais pouvoir factoriser par \(h\), ce qui donne \(h( h + 4) - 28 / h\). Et là, je peux simplifier par \(h\), ce qui donne \(h + 4\).
Maintenant, je demande quelle est la limite de \(h + 4\) quand \(h\) tend vers \(0\). \(h\) est quasiment nul, donc je peux le barrer et il ne reste plus que \(4\). \(4\) est un nombre fini, donc je peux dire que c'est le nombre dérivé de \(f\) en \(2\).
Conclusion
Voilà pour les calculs, à vous de jouer ! Vous en faites quelques-uns si vous vous sentez à l'aise, ou passez directement à la prochaine compétence. On va la voir avec des racines, ça va être un peu plus compliqué.