16. Résoudre une équation compliquée avec cosinus ou sinus dans ℝ

Introduction

Dans cette leçon, nous allons résoudre des formes un peu différentes d'équations avec sinus et cosinus. Par exemple, nous avons l'équation \(3\sqrt{2}\cos(2x) - 4 = -1\). Les étapes pour résoudre ce genre d'équations sont toujours les mêmes. Premièrement, nous allons transformer notre équation en \(\cos(2x) = \text{quelque chose}\). Pourquoi ? Parce que une fois notre équation transformée, nous savons comment la résoudre. Nous allons dire que \(\cos(x) = \cos(\text{un autre angle})\) et ensuite nous allons dire \(x = \pm \text{cet angle} + 2\pi k\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). C'est quelque chose que nous avons vu dans une vidéo précédente et que vous êtes parfaitement capable de faire.

Transformation de l'équation

La première étape est de transformer l'équation en \(\cos(2x) = \text{quelque chose}\). Comment allons-nous faire cela ? Il y a deux choses qui nous dérangent ici : le \(3\sqrt{2}\) et le signe moins. Nous allons nous en débarrasser l'un après l'autre. La première étape est d'ajouter 4 des deux côtés, donc nous obtenons \(3\sqrt{2}\cos(2x) = 3\). Ensuite, le \(3\sqrt{2}\) nous dérange aussi, donc nous allons tout diviser par \(3\sqrt{2}\). Maintenant, nous pouvons simplifier et nous obtenons \(\cos(2x) = \frac{3}{3\sqrt{2}}\), autrement dit \(\cos(2x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Résolution de l'équation

Maintenant, nous allons résoudre cette équation. Nous commençons par dire que \(\cos(2x) = \cos(\text{quelque chose})\) tel que ce "quelque chose" est \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Ensuite, nous allons dire \(x = \pm \text{cet angle} + 2\pi k\). Quel est cet angle qui donne \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ? Nous connaissons par cœur les valeurs de \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\) et \(\frac{\pi}{6}\). La valeur de \(\cos(\text{angle})\) que nous lisons sur l'axe horizontal est \(\sqrt{3}/2\), \(\sqrt{2}/2\) et \(1/2\). En fait, \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) est juste une autre manière d'écrire \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Donc, l'angle qui donne \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) est \(\frac{\pi}{4}\). Nous pouvons conclure directement que \(x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k\) avec \(k \in \mathbb{Z}\).

Conclusion

Maintenant, c'est à vous de jouer. Entraînez-vous avec d'autres équations similaires.