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12. Résoudre une inéquation avec cosinus ou sinus dans ℝ
Conditions d'achèvement
Exercice
1
Exercice
2
Exercice
3
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Je crois qu'il ya une erreur au 2ème équations ; 7pi/6 au lieu de -5pi<b></b><b></b>/6
C’est exactement la même chose sauf que tu prends le cercle trigonométrique dans le sens contraire
Introduction
On va résoudre des inéquations un peu plus compliquées avec sinus et cosinus. On cherche à résoudre, dans l'ensemble des réels, une équation du style \(\cos(2x) \geq \sqrt{2}/2\) et \(sin(2x) < -\sqrt{2}/2\).Méthodologie pour les inéquations avec sinus et cosinus
La méthodologie pour les inéquations avec sinus et cosinus est la suivante : 1. On va résoudre l'égalité. Par exemple, on commence par résoudre \(\cos(2x) = \sqrt{3}/2\). On va trouver des solutions, les placer sur le cercle trigonométrique. 2. Une fois qu'on a placé les solutions sur le cercle, on va déterminer l'intervalle qui correspond à ce que l'on nous demande. 3. Après avoir colorié l'intervalle, on va répondre à l'inéquation.Exemple de résolution d'inéquation avec cosinus
On résout \(\cos(2x) = \sqrt{3}/2\). Comme vu précédemment, on va transformer ça en une équation du style \(\cos(x) = \cos(\alpha)\). Autrement dit, on va trouver un angle qui marche. On trouve une solution particulière, par exemple \(\pi/6\). Mais il y a une deuxième solution. On ne peut pas dire \(x = \pi/6\), on va dire \(x = \pm \pi/6\). Et on n'oublie pas que on est censé résoudre sur \(\mathbb{R}\), donc il va falloir tenir compte des tours complets du cercle. On veut un \(\cos(x)\) qui est plus grand que \(\sqrt{3}/2\). Donc, on va chercher sur l'axe horizontal les valeurs plus grandes que cela. Les angles qui donnent ces valeurs sont ceux qui sont compris entre \(-\pi/6\) et \(\pi/6\). Donc, l'intervalle qu'on recherche est celui qui est compris entre \(-\pi/6\) et \(\pi/6\). On va dire que la solution est l'intervalle \([- \pi/6, \pi/6]\). Et comme on a une inégalité avec un signe égal, on va garder ces points dans notre intervalle.Exemple de résolution d'inéquation avec sinus
On résout \(sin(2x) = -\sqrt{2}/2\). On commence par trouver un angle qui donne \(-\sqrt{2}/2\) pour le sinus. Un angle possible est \(-\pi/4\). On résout l'équation en utilisant la méthode qu'on a vu précédemment. Les solutions sont \(x = -\pi/4\) et \(x = \pi - \pi/4 + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\). On veut que notre \(sin(x)\) soit plus petit que \(-\sqrt{2}/2\). Donc, on va chercher les valeurs en dessous de cette valeur. Les angles qui correspondent sont ceux qui sont dans l'intervalle \([5\pi/4, -\pi/4]\). Et comme on a une inégalité stricte, on va exclure ces points de notre intervalle. On n'oublie pas de rajouter les \(2k\pi\), et on a notre solution.Conclusion
Entraînez-vous à résoudre ce genre d'inéquations. Ce n'est pas si évident que ça, donc vous allez devoir vous entraîner à voir tous les cas de figure. À vous de jouer maintenant.Nouvelle recrue
Invité
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Peut on dire que l'ensemble des solutions pour sin x < -(√2/2) est:
S=]-(3π/4)+2kπ ; -(π/4)+2kπ[ ?