Introduction
On va résoudre des inéquations un peu plus compliquées avec sinus et cosinus. On cherche à résoudre, dans l'ensemble des réels, une équation du style \(\cos(2x) \geq \sqrt{2}/2\) et \(sin(2x) < -\sqrt{2}/2\).
Méthodologie pour les inéquations avec sinus et cosinus
La méthodologie pour les inéquations avec sinus et cosinus est la suivante :
1. On va résoudre l'égalité. Par exemple, on commence par résoudre \(\cos(2x) = \sqrt{3}/2\). On va trouver des solutions, les placer sur le cercle trigonométrique.
2. Une fois qu'on a placé les solutions sur le cercle, on va déterminer l'intervalle qui correspond à ce que l'on nous demande.
3. Après avoir colorié l'intervalle, on va répondre à l'inéquation.
Exemple de résolution d'inéquation avec cosinus
On résout \(\cos(2x) = \sqrt{3}/2\). Comme vu précédemment, on va transformer ça en une équation du style \(\cos(x) = \cos(\alpha)\). Autrement dit, on va trouver un angle qui marche. On trouve une solution particulière, par exemple \(\pi/6\).
Mais il y a une deuxième solution. On ne peut pas dire \(x = \pi/6\), on va dire \(x = \pm \pi/6\). Et on n'oublie pas que on est censé résoudre sur \(\mathbb{R}\), donc il va falloir tenir compte des tours complets du cercle.
On veut un \(\cos(x)\) qui est plus grand que \(\sqrt{3}/2\). Donc, on va chercher sur l'axe horizontal les valeurs plus grandes que cela. Les angles qui donnent ces valeurs sont ceux qui sont compris entre \(-\pi/6\) et \(\pi/6\).
Donc, l'intervalle qu'on recherche est celui qui est compris entre \(-\pi/6\) et \(\pi/6\). On va dire que la solution est l'intervalle \([- \pi/6, \pi/6]\). Et comme on a une inégalité avec un signe égal, on va garder ces points dans notre intervalle.
Exemple de résolution d'inéquation avec sinus
On résout \(sin(2x) = -\sqrt{2}/2\). On commence par trouver un angle qui donne \(-\sqrt{2}/2\) pour le sinus. Un angle possible est \(-\pi/4\).
On résout l'équation en utilisant la méthode qu'on a vu précédemment. Les solutions sont \(x = -\pi/4\) et \(x = \pi - \pi/4 + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).
On veut que notre \(sin(x)\) soit plus petit que \(-\sqrt{2}/2\). Donc, on va chercher les valeurs en dessous de cette valeur. Les angles qui correspondent sont ceux qui sont dans l'intervalle \([5\pi/4, -\pi/4]\).
Et comme on a une inégalité stricte, on va exclure ces points de notre intervalle. On n'oublie pas de rajouter les \(2k\pi\), et on a notre solution.
Conclusion
Entraînez-vous à résoudre ce genre d'inéquations. Ce n'est pas si évident que ça, donc vous allez devoir vous entraîner à voir tous les cas de figure. À vous de jouer maintenant.