Introduction
Dans cette leçon, nous allons nous amuser à placer des intervalles sur le cercle trigonométrique. C'est un exercice que j'ai trouvé dans un vrai contrôle à l'Université de Toulouse, donc c'est vraiment quelque chose qui peut tomber dans un examen. Le sujet est le suivant : sur le cercle trigonométrique, colorier les arcs décrits par les intervalles suivants : \(-\pi/4\), \(5\pi/4\) et \(4\pi/3, 13\pi/6\). Nous allons le faire en deux étapes. La première étape est de placer les limites de ces intervalles et la deuxième étape est de déterminer comment passer d'un point à un autre, autrement dit, quel est l'arc de cercle que nous allons colorier.
Placer les limites des intervalles
Pour le premier intervalle, nous avons deux points à placer : \(-\pi/4\) et \(5\pi/4\). Le point \(-\pi/4\) est assez facile à placer. Vous le connaissez par cœur. Je parle de zéro ici, \(\pi/2\), \(\pi\), et \(\pi/4\) est la moitié de \(\pi/2\), donc je suis là. Ensuite, pour \(5\pi/4\), il y a plusieurs façons de le faire. La première est de compter que vous savez que \(\pi\) est égal à \(4\pi/4\), donc si je compte 5, je fais 1, 2, 3, 4, 5. La deuxième manière est de passer par la mesure principale. Pour trouver la mesure principale de \(5\pi/4\), je vais dire que c'est un certain nombre de fois \(\pi\) plus un reste. Compter combien de fois \(\pi\) rentre dans \(5\pi/4\) n'est pas évident, donc je vais plutôt compter combien de fois \(2\pi\) rentre dans \(5\pi/4\).
Colorier les arcs de cercle
Maintenant, comment allons-nous positionner cet intervalle ? Nous sommes censés partir de \(-\pi/4\) et arriver à \(5\pi/4\). Il ne faut pas se tromper, car on a envie de dire que l'arc de cercle à colorier est celui qui est entre ces deux points. Sauf que n'oubliez pas que le cercle trigonométrique a un sens positif et un sens négatif. Quand on ne vous précise pas dans quel sens est donné l'intervalle, on part du principe que vous partez du point qui est à gauche, vous arrivez au point qui est à droite en tournant dans le sens positif. Donc l'arc de cercle à colorier entre ces deux points n'est pas celui que vous pensez, c'est en fait tout l'autre. Donc ça va être toute cette zone là.
Nous allons maintenant répéter le processus avec le deuxième intervalle, \(4\pi/3, 13\pi/6\). Pour \(4\pi/3\), nous allons refaire le calcul de la mesure principale. Pour \(13\pi/6\), nous calculons également sa mesure principale. Ensuite, nous positionnons ces points sur le cercle trigonométrique et nous colorions l'arc de cercle correspondant à cet intervalle.
En conclusion, il est important de bien comprendre le sens du cercle trigonométrique et de savoir comment calculer la mesure principale d'un angle pour pouvoir positionner correctement les intervalles sur le cercle.