14. Calculer une somme - Suites arithmétiques & géométriques

Introduction

Dans cet exercice, nous allons travailler sur des problèmes de type contrôle. Cela peut sembler déstabilisant car il n'y a presque aucune indication donnée. Par exemple, on vous demande de calculer la somme suivante : \(37 + 40 + 43 + 46\) jusqu'à \(70\). À première vue, cela peut sembler déroutant car il n'y a aucune mention de suite. C'est à vous de faire le travail nécessaire pour résoudre le problème.

Identification de la suite

La première étape consiste à identifier le type de suite. En observant les nombres, on remarque que lorsqu'on passe de \(37\) à \(40\), on ajoute \(3\), et de même pour passer de \(40\) à \(43\). Cela suggère qu'il s'agit d'une suite arithmétique de raison \(3\). Ensuite, on peut écrire cette suite comme \(u_1 + u_2 + \ldots + u_n\), où \(n\) est un nombre que nous ne connaissons pas encore.

Calcul de la somme

Une fois que nous avons identifié qu'il s'agit d'une somme de termes d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la formule pour calculer cette somme : \(\frac{n}{2} \times (u_1 + u_n)\). Ici, le premier terme \(u_1\) est \(37\) et le dernier terme \(u_n\) est \(70\). Ce qui manque, c'est le nombre de termes \(n\). Pour le trouver, nous pouvons utiliser la formule de la suite arithmétique : \(u_n = u_1 + (n-1) \times r\), où \(r\) est la raison de la suite. En remplaçant \(u_1\) par \(37\), \(r\) par \(3\) et \(u_n\) par \(70\), nous obtenons une équation que nous pouvons résoudre pour trouver \(n\). Après résolution, nous trouvons que \(n = 12\). Nous pouvons alors utiliser cette valeur dans la formule de la somme pour obtenir le résultat final : \(6 \times 107 = 642\).

Conclusion

Cet exercice montre l'importance de bien maîtriser les formules de suites arithmétiques et géométriques. Même si l'énoncé ne mentionne pas explicitement qu'il s'agit d'une suite, vous pouvez l'identifier et l'utiliser pour résoudre le problème rapidement.