11. Étudier la limite d'une suite arithmétique

Introduction

Nous allons ensemble regarder comment calculer les limites de suite arithmétique, c'est-à-dire les suites les plus simples. Pour calculer les limites des suites arithmétiques, on va voir qu'il y a quelque chose à apprendre par cœur. Cependant, je préférerais que vous raisonnez par vous-même plutôt que d'apprendre par cœur le tableau.

Exemple de calcul de limite

Prenons la première suite \(u_n = 2 + 3n\). Vous êtes parfaitement habilité maintenant à reconnaître que quand j'écris \(u_n = 2 + 3n\), vous reconnaissez quelque chose de la forme \(u_n = a + rn\). Donc vous savez que c'est une suite arithmétique. Qu'est-ce que ça veut dire la limite ? La limite, ça veut dire comment va se comporter ma suite quand \(n\) devient infiniment grand. Par exemple, quand \(n\) est plus grand qu'un milliard, que 1000 milliards, est plus grand que tout ce que vous pouvez imaginer. Alors si \(n\) devient infiniment grand, qu'est-ce qu'il arrive à \(3n\) ? Si \(n\) est infiniment grand, \(3n\) vaut trois fois l'infini. Sauf que trois fois l'infini, c'est toujours l'infini. Donc si \(n\) tend vers l'infini, \(3n\) ça tend vers l'infini aussi. Et maintenant, si \(n\) est infiniment grand et j'y ajoute 2, qu'est-ce que ça fait ? Ça fait l'infini plus 2. Sauf que l'infini +2, encore une fois, ça fait l'infini. Donc la limite de \(u_n\) c'est l'infini.

Raisonnement en termes de raison

Maintenant, essayons de raisonner en termes de raison. La raison de cette suite est trois. Ça veut dire que chaque fois que vous passez d'un terme à l'autre, vous ajoutez trois. Au bout d'un temps infini, à force de rajouter 3 à votre stock initial, à votre suite, ce que vous avez quand je rajoute une infinité de fois trois, j'ai une infinité. Quelle que soit ma valeur de départ, que ce soit positif ou que ce soit négatif. Encore, si j'avais \(u_n = -2 + 3n\), c'est-à-dire que je pars de -2 et j'ajoute trois une infinité de fois, je m'entendrai toujours sur + l'infini. Donc la règle avec les suites arithmétiques, c'est que si la raison est positive, c'est-à-dire si j'ajoute quelque chose positif à chaque fois, ma limite ça sera forcément plus l'infini. Si ma raison est négative, c'est-à-dire si j'enlève quelque chose à chaque fois, ma limite ce sera forcément l'infini négatif, donc - l'infini. Reprenons cet exemple avec les deux méthodes. Si \(n\) devient infiniment grand, qu'est-ce qui se passe si je fais moins trois fois \(n\) ? Moins trois fois \(n\) ça fait moins trois fois l'infini. Mais moins trois fois l'infini, c'est juste - l'infini. Donc tout ça, \(u_n = -3n\), ça fait moins l'infini. Qu'est-ce qui se passe si je fais moins deux moins l'infini ? Si \(n\) part de moins deux et devient infiniment grand, je me retrouve à moins l'infini. Donc on a encore cette règle que quand la raison est positive, ça fait plus l'infini et quand elle est négative, ça fait moins l'infini. Cette suite là, la raison c'est moins trois, pas besoin de réfléchir plus que ça, la limite est moins l'infini car la raison est négative. Cette suite là, la raison est 54, pas besoin de réfléchir plus que ça, la limite est plus l'infini car la raison est positive. On vous a mis ça sur le tableau, mais entraînez-vous à réfléchir à cette histoire de qu'est-ce qui se passe quand \(n\) devient très grand. Qu'est-ce qui se passe quand je multiplie par 3, quand je divise par trois, ce genre de réflexion là. Allez, au travail !