Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir une propriété fondamentale du cours sur les vecteurs : les relations entre les vecteurs et les parallélogrammes. On va voir ça tout de suite.

Qu'est-ce qu'un parallélogramme ?

Il faut que vous compreniez d'abord ce qu'est un parallélogramme. Un parallélogramme est un quadrilatère, c'est-à-dire un objet avec quatre côtés, dont les côtés opposés sont parallèles. Donc, un carré, un rectangle sont des exemples de parallélogrammes. Par exemple, dans un rectangle, ce côté-là et ce côté-là sont parallèles, et ce côté-là et ce côté-là sont parallèles. Cet objet, le BCEF, est un parallélogramme aussi, et pourtant ce n'est pas un rectangle. Donc, un parallélogramme peut être un rectangle, ou bien un objet dont les côtés peuvent être étirés ou déformés tout en restant parallèles.

Propriété fondamentale des parallélogrammes

La propriété fondamentale des parallélogrammes, c'est que dans un parallélogramme, les côtés opposés forment des vecteurs égaux. Autrement dit, le vecteur \( \overrightarrow{DA} \) est exactement le même que le vecteur \( \overrightarrow{CB} \), et de la même manière, le vecteur \( \overrightarrow{BC} \) est le même que le vecteur \( \overrightarrow{EF} \). Une fois que vous avez compris ça, vous avez quasiment fini l'exercice. Pourquoi ? Parce que si \( ABCD \) est un rectangle, donc un parallélogramme, alors \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \). Mais comme \( DC = EF \) (car \( BCEF \) est aussi un parallélogramme), alors \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EF} \). De plus, \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{EF} \) aussi, car \( BCEF \) est un parallélogramme. Donc, si \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EF} \) et \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{EF} \), alors \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} \). La démonstration est terminée. C'est un cas simple, mais dans les exercices, on a mis des cas simples et des cas plus compliqués. Entraînez-vous, car cela vaut littéralement deux ou trois points aux contrôles que vous allez avoir dans quelques semaines. Donc, ça vaut le coup de se dire : "Je me fais un ou deux exercices pour vérifier que c'est bien compris". À vous de jouer maintenant.