4. Triangle rectangle - Trigonométrie - SOH-CAH-TOA

Introduction

On se retrouve toujours sur la géométrie et les triangles. On a vu tout ce qui était petits exercices avec du Pythagore et aujourd'hui on va changer parce que regardez qu'est-ce qu'on a aujourd'hui. On a un petit sujet qui nous dit : combien vaut le cosinus de l'angle ABC ou l'angle B, l'angle sur le côté, le sommet B.

Contexte

Qu'est-ce qu'on constate déjà ? On est dans un triangle rectangle parce qu'on a un angle droit en A. En BAC ou en CAB, ça dépend dans quel sens vous le lisez, et on a les longueurs sur tous les côtés. Donc là, on arrive dans une nouvelle compétence où on aborde les rapports trigonométriques, les relations trigonométriques. On est toujours déjà dans un triangle rectangle, c'est comme le théorème de Pythagore. On est dans un triangle rectangle, oui c'est bien ça. S'il n'y a pas de triangle rectangle, on ne peut pas faire les relations trigonométriques. Donc qu'est-ce qu'on a ? On a un angle droit dans un triangle rectangle. Là, dans mon triangle à moi ABC, c'est rectangle en C. Donc forcément, la longueur AB est l'hypoténuse. Donc on a forcément une hypoténuse dans les triangles rectangles.

Les relations trigonométriques

La nouveauté ici, c'est que on a un angle opposé adjacent. Alors qu'est-ce que c'est l'angle opposé ? C'est par rapport à l'angle \(\theta\) que j'ai ici, donc l'angle BAC, l'angle en A. Là, si j'avais un angle qui est là, ça va changer. L'opposé, l'adjacent dépend vraiment de où est placé l'angle qu'on cherche ou qu'on observe, qu'on va nous demander de calculer et cetera. Donc ici, l'angle \(\theta\), c'est une lettre grecque, on aurait pu appeler ça alpha, angle A tout simplement. S'il est ici en A, c'est le côté opposé qu'on appelle sur la longueur basse et adjacent. Adjacent, il faut le dire, c'est ce qui est collé à l'angle, c'est ce qui est proche de l'angle, ce qui touche l'angle. En tout cas, c'est l'angle adjacent, c'est celui qui n'est pas l'hypoténuse. L'hypoténuse, ça sera toujours la plus grande longueur et l'autre sera l'adjacent. Et on pourra jamais, ça sera toujours, l'angle sera toujours là ou là, mais il ne sera jamais sur ici parce que c'est un angle droit donc ça ne marche pas. Donc si on change, comme je disais, l'angle, on le met plus en A, on le met en B, ben le côté AC devient l'opposé et BC devient l'adjacent. C'est compris ? Donc ça, il faut bien l'avoir en tête, bien retenir où est-ce qu'on va lire l'opposé, l'adjacent, l'hypoténuse, c'est le plus simple normalement. Et c'est là qu'entre en jeu ces fameuses relations : sinus, cosinus, tangente. Alors, sinus de cet angle, c'est l'opposé sur l'hypoténuse. Le cosinus de l'angle, c'est l'adjacent sur l'hypoténuse. Et la tangente de l'angle, c'est l'opposé sur l'adjacent.

Application

Donc, prenez le temps de l'apprendre par cœur, de vous le réécrire, faire une fiche sur ça, c'est super important. Ça, vous allez l'utiliser très longtemps. En tout cas, apprenez-le par cœur et nous, on va l'appliquer ça sur notre triangle. Donc, vous voyez notre triangle. Je mets un plus gros en plus grand pour les verticales. Donc, vous voyez ce triangle. Combien vaut le cosinus ? On cherche le cosinus d'abord et c'est l'angle ABC ou l'angle qui est du côté B. Donc, si je reprends un triangle un peu comme ça, donc je peux remettre un petit peu les lettres ABC et qu'est-ce que je cherche ? Et ben, c'est l'angle qui est du côté B là. Donc moi, je l'appelle dans mes cours \(\theta\). Donc \(\theta\), on peut aussi le noter ABC, on peut le noter B. Donc, qu'est-ce qu'on a alors ? J'ai fait exprès, vous avez vu, je l'ai mis alors déjà on va plutôt partir sur celui-là plutôt que celui-là. À partir sur celui-là, nous on a l'angle qui est là et on va chercher alors la question c'est on nous demande le cosinus. Donc ça, c'est le premier exercice. Après les autres exercices, vous aurez à calculer un angle, à calculer une longueur. Donc là, on va juste demander, on nous a juste demandé le cosinus. Donc on va l'appliquer avec, on va juste donner \(\cos(B)\), ça fait \(\tan(\theta)\). Ok, on va pas essayer de chercher une longueur ou quoi. Donc ça fait juste un cosinus. Donc le cosinus, c'est adjacent sur hypoténuse, c'est le cas adjacent. Donc c'est déjà ce qu'on peut se noter. Hop, je le note comme ça plutôt. Alors, cosinus de notre \(\theta\) en général, pour, c'est le côté opposé, l'adjacent pardon, donc le A sur H pour faire simple, adjacent sur l'hypoténuse, ok, le car. Donc l'adjacent, maintenant il faut retrouver l'adjacent. L'adjacent, il est de quel côté ? Effectivement, l'adjacent, c'est le côté AB. Ok, donc le notre cas, c'est le côté. Donc là, c'est l'hypoténuse si vous voulez, là c'est l'adjacent et là c'est l'opposé. D'accord, l'opposé toujours opposé à l'angle, l'hypoténuse toujours l'opposé à l'angle droit et l'adjacent, bah c'est le dernier, c'est celui qui est le, c'est l'autre que l'hypoténuse du côté de l'angle quoi. Donc c'est finalement AB l'adjacent et l'hypoténuse, pardon, c'est BC. Et là, on les a, on nous les a donné dans l'énoncé. AB c'est 8, BC c'est 10. Donc \(8/10\). Après on peut simplifier avec les fractions, vous en rappelez, donc ça fait \(4/5\). Si je dis pas de bêtises, \(2 \times 4 / 5 \times 2\), c'est ça. Après on peut aussi le mettre en décimal, donc ça fait 0.8. Ok, donc vu que c'est un cosinus, ça n'a pas d'unité. Faut se rappeler aussi que c'est toujours compris entre -1 et 1. Que ce soit le cosinus, le sinus, la tangente, c'est pas le cas. Mais pour cosinus et sinus, vous avez pas un résultat entre -1 et 1, ça c'est un truc à se rappeler, c'est pas bon. Donc a une erreur quelque part. Donc \(4/5\), ça m'irait très bien comme réponse si vous donnez comme fraction, 0.8, voilà, c'est deux réponses qui sont possibles. Nous, on nous a pas demandé de mettre certaine forme, donc voilà. Entraînez-vous à faire des exercices comme ça, à retrouver un cosinus. Donc vous allez juste demander le cosinus, donc c'est le niveau 1 on va dire de cet exercice là. Faites-le dans les exercices avec le sinus, la tangente aussi, voir comment qu'est-ce que ça peut faire. Et amusez-vous à bien repérer c'est quoi l'opposé, l'adjacent et l'hypoténuse et reconnaître par cœur et apprendre par cœur pardon les relations, les rapports trigonométriques. Allez, prochaine vidéo.