3. Triangle rectangle - Pythagore - Réciproque

Introduction

Allez, on se reprend, on finit sur le théorème de Pythagore. Dernière compétence sur le thème de Pythagore aujourd'hui. On nous propose quoi ? On nous propose un triangle. Ah, on ne sait pas s'il est rectangle, justement, c'est tout le jeu. On nous demande si le triangle ABC est rectangle. On nous donne des longueurs : on a 10 cm, 6 cm et 8 cm. Avec ça, on doit savoir si le triangle est rectangle. Alors, je vous aide, on était sur le théorème de Pythagore aujourd'hui. C'est quoi qui va nous aider à justifier ça ? C'est la réciproque du théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore et sa réciproque

Le théorème de Pythagore, je vous rappelle, on l'a vu, ça fait plusieurs vidéos qu'on le fait. C'est si on a un triangle rectangle, c'est ça le théorème. Il fallait bien évidemment préciser que c'est un rectangle. On peut établir que l'hypoténuse \(AC^2\) est égale à la somme des carrés des deux autres côtés, soit \(AB^2 + BC^2\). La réciproque du théorème de Pythagore nous dit que si on a un triangle ABC et qu'on arrive à justifier que \(AC^2 = AB^2 + BC^2\), alors on peut justifier qu'il est un triangle rectangle.

Application de la réciproque du théorème de Pythagore

Alors, comment on fait pour trouver l'hypoténuse ? Parfois, c'est un peu évident grâce au schéma, mais j'aurais pu le tourner un petit peu pour que ce soit moins évident. Peu importe, l'hypoténuse, c'est la longueur la plus longue, tout simplement. Donc ici, c'est \(AC\). Pour justifier que \(AC^2 = AB^2 + BC^2\), il faut faire l'application numérique de chaque membre séparément. Donc, concrètement, mon \(AC\) vaut 10 cm, donc \(AC^2 = 10^2 = 100\) cm². Ensuite, \(AB = 8\) cm, donc \(AB^2 = 8^2 = 64\) cm². Et \(BC = 6\) cm, donc \(BC^2 = 6^2 = 36\) cm². Maintenant, on fait la somme de \(AB^2\) et \(BC^2\), soit \(64 + 36 = 100\). On vient donc de justifier que \(AC^2 = AB^2 + BC^2\), donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. Faites des exercices, entraînez-vous, il faut le faire plusieurs fois cette justification là. Faites la bonne rédaction comme le prof aussi, chaque prof aura un petit peu la rédaction qu'il veut pour la réciproque du théorème de Pythagore. Dans les prochaines vidéos, on va voir le cosinus, le sinus et la tangente dans un triangle rectangle.