0. Nombres complexes Interactifs
Avant les calculs, regarde. Tout nombre complexe \(z=a+ib\) est l'affixe d'un point \(M\) du plan : sa partie réelle \(a\) se lit sur l'axe réel, sa partie imaginaire \(b\) sur l'axe imaginaire. Le module \(|z|\) est la longueur \(OM\), l'argument \(\theta\) l'angle entre l'axe réel et \(\overrightarrow{OM}\) : d'où les formes trigonométrique \(z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)\) et exponentielle \(z=|z|e^{i\theta}\).
À toi d'explorer
- Place \(M\) d'affixe \(z=2+2i\). Quel est son module ? son argument ? Écris \(z\) sous forme exponentielle.
- En mode « r et θ », place \(z=2e^{i\frac{2\pi}{3}}\) : quelle est sa forme algébrique ?
- Affiche le conjugué \(\bar{z}\) : que deviennent le module et l'argument ?
- Dans l'onglet « Deux points », place \(A(-2\,;\,-1)\) et \(B(3\,;\,2)\) : calcule \(AB\) et l'affixe du milieu \(I\), puis vérifie.
- Dans l'onglet « Produit », choisis \(w=e^{i\frac{\pi}{2}}=i\) : que fait la multiplication par \(i\) ?
Garde ces réponses en tête : elles résument les compétences de ce chapitre sur les nombres complexes et la géométrie.
Cette page propose une figure interactive pour comprendre l’interprétation géométrique des nombres complexes, en Terminale option mathématiques expertes. Chaque nombre complexe \(z=a+ib\) est l’affixe d’un point \(M\) du plan complexe. En déplaçant ce point, on voit sa partie réelle sur l’axe réel, sa partie imaginaire sur l’axe imaginaire, son module \(|z|\), qui est la longueur \(OM\), et son argument \(\theta\), qui est l’angle entre l’axe réel et le vecteur \(\overrightarrow{OM}\).
La figure écrit en même temps les trois formes du nombre complexe : la forme algébrique \(a+ib\), la forme trigonométrique \(|z|(\cos\theta+i\sin\theta)\) et la forme exponentielle \(|z|e^{i\theta}\). On peut placer le point avec ses coordonnées ou avec son module et son argument ; pour les angles remarquables, toutes les valeurs sont exactes, par exemple \(2e^{i\frac{2\pi}{3}}=-1+i\sqrt{3}\). Le conjugué \(\bar{z}\) s’affiche comme le symétrique de \(M\) par rapport à l’axe réel.
Un deuxième onglet travaille avec deux points \(A\) et \(B\) : l’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\), égale à \(z_B-z_A\), la longueur \(AB=|z_B-z_A|\), l’affixe du milieu et l’angle du vecteur avec l’axe réel. Un troisième onglet illustre le produit de deux nombres complexes : les modules se multiplient et les arguments s’ajoutent, si bien que multiplier par \(e^{i\theta}\) revient à tourner d’un angle \(\theta\).
Des questions d’exploration accompagnent la figure et préparent les compétences du chapitre Nombres complexes – géométrique : image et affixe, affixe d’un milieu et d’un vecteur, module et argument, forme trigonométrique et forme exponentielle, angle entre deux vecteurs et nature d’un triangle, chacune accompagnée de vidéos et d’exercices corrigés.
