4. Intersection de deux droites

Introduction

Elle est venue, on est parti pour une compétence classique, celle qui consiste à trouver l'intersection de deux droites dont on vous a donné les équations paramétriques. On va voir dans cette vidéo deux cas. Le premier cas qu'on fait tout de suite, c'est quand il y a une intersection et qu'on trouve les coordonnées du point d'intersection. Le deuxième cas, c'est qu'est-ce qui se passe quand il n'y a pas d'intersection et qu'on ne trouve pas les coordonnées du point.

Intersection de deux droites

Pour trouver les coordonnées d'intersection du point, je vous rappelle que quand vous avez deux droites, elles sont instantanées. Donc, quand on a une droite, on se dit que quand le temps évolue, donc quand ma petite variable \( t \) évolue, je vais obtenir différents points, comme si on se déplaçait le long de cette droite. À cet instant, au bout de trois secondes, puis la seconde suivante, je suis là, à une seconde, puis à moins cinq secondes, etc. On se déplace le long de la droite. Si on a deux droites et qu'elles se coupent, est-ce qu'elles se touchent ? Si il y a une intersection, ça veut dire qu'à un moment elles sont passées par le même point. Est-ce que c'était nécessairement au même moment ? Pas du tout. Quand vous voyez des avions dans le ciel avec les traces que laissent la vapeur d'eau dans le ciel, quand vous voyez deux traces qui se coupent, ça ne veut pas du tout dire que les avions se sont croisés au même moment. En réalité, le \( t \) qu'on a ici et le \( t \) qu'on a là, ce n'est pas nécessairement les mêmes. Donc on va les appeler \( t \) et \( t' \). On va se demander si il y a un point de coordonnées \( x, y, z \) tel que ce point là il est à la fois traversé par \( t \) et par \( t' \).

Résolution du système

Donc on va se demander si on a un \( x, y, z \) qui est à la fois égal à ça et à ça. Ça veut forcément dire que cette coordonnée là elle est égale à celle là. Donc \( t + 1 = t' \), \( t + 2 = 2t' \) et \( -t + 3 = t' + 2 \). On va résoudre ce système là où les inconnus sont \( t \) et \( t' \). Vous remarquerez qu'on a une, deux, trois équations pour une ou deux inconnus. Ça veut dire que potentiellement ce système là n'a pas de solution. S'il n'a pas de solution, c'est là que si vous n'arrivez pas à trouver \( t \) et \( t' \), alors il n'y a pas d'intersection. S'il y a une solution, il y a une intersection. Comment est-ce qu'on résout ça ? Moi je vous conseille toujours la même technique : vous cachez la dernière ligne, vous vous servez des deux premières pour trouver \( t \) et \( t' \), et vous les incluez dans la troisième pour voir si ça marche.

Conclusion

Qu'est-ce qui se passe maintenant si on se trouve avec deux droites qui n'ont pas de point d'intersection ? Je vais vous prendre un exemple très simple. On va modifier légèrement une des droites et vous allez voir ce qui se passe quand on n'a pas d'intersection. Je reprends la même technique donc je me dis : si il y a intersection, ça veut dire que l'une est égale à l'autre. Donc je vais résoudre le système où j'égalise les coordonnées. Si ça ne marche pas, alors il n'y a pas de solution \( t, t' \) telles que ça soit égal à ça. Donc il n'y a pas de point à l'intersection. On vous a mis des exercices en dessous, à vous de jouer. C'est vraiment quelque chose qui arrive au contrôle et qui sert dans les sujets du bac. À vous de jouer, vous êtes des champions.