18. Aire d'un triangle à partir du volume d'un tétraèdre

Introduction

Allons-y, les amis, nous allons comprendre un sujet type bac, un exercice type contrôle qui tombe extrêmement souvent et qui est toujours en rapport avec ces histoires de tétraèdres. En gros, nous allons nous intéresser aux tétraèdres, le BGF en particulier. C'est une espèce de pyramide à base triangulaire.

Calcul du volume du tétraèdre

Dans le déroulé des exercices, ça va se passer comme ça : on va d'abord vous demander de calculer le volume de EBJF. Pour ça, on va vous donner une formule qui est que le volume d'un tétraèdre c'est un tiers de la base fois la hauteur. On vous aura quand même donné suffisamment de petits coups de coudes pour que vous vous disiez : "Bah, c'est pas compliqué, ma base c'est ce triangle là, et ma hauteur, c'est la droite perpendiculaire à cette base là et qui passe par le sommet opposé". Donc, aucun problème avec cette question. Je calcule l'aire de ce triangle qui est un triangle rectangle, c'est la moitié du carré de côté 1, donc cette aire est \( \frac{1}{2} \). Je le multiplie par la hauteur, le volume de mon tétraèdre c'est \( \frac{1}{2} \) fois une hauteur de 1, c'est \( \frac{1}{2} \). Donc, je réponds à la question 1 en disant que l'aire c'est le volume de la base, donc ce carré de côté 1, \(1 \times 1 = 1\). Je prends la moitié, ça me fait \( \frac{1}{2} \). Ça, c'est la base. La hauteur, c'est FB. Sauf que celle-ci, on a notre équipe de côté, ça fait 1. Et je prends un tiers de ça parce que c'est un tiers de base fois hauteur, ça me fait \( \frac{1}{6} \). Formidable, j'ai le volume du tétraèdre EGBF.

Calcul de la longueur de la hauteur issue de F

Deuxième question, quelle est la longueur de la hauteur issue de F ? Donc là, on est en train de vous demander quelle est cette longueur, donc issue de F, qui va rejoindre la face opposée, c'est-à-dire la face du fond là, et qui fait un angle droit. On vous la donne en cherchant l'intersection entre la droite F et le plan BGF, soit le point H. Dans votre exercice, vous avez cette hauteur, vous la calculez, vous trouvez \( \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Déduction de l'aire de EGB

Troisième question, déduire de cela l'aire de EGB. Donc c'est là que ça devient compliqué. En fait, non, c'est pas du tout compliqué. Vous savez que le volume du tétraèdre ne bouge pas, le volume du tétraèdre c'est \( \frac{1}{6} \). Vous avez calculé \( \frac{1}{6} \) en utilisant cette base là et cette hauteur là. Mais rien ne vous empêche de dire que le volume du tétraèdre, c'était la base orange, donc c'était l'aire de EGB, et fois la hauteur issue de F, la hauteur qui part de F et qui va perpendiculairement à EGB. Oui, mais cette hauteur, vous l'avez trouvée en question 2, la hauteur c'est \( \frac{1}{\sqrt{3}} \). Donc, \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) fois un tiers, et là c'est gagné parce que vous voyez votre aire, je me débarrasse de tout ça, ça me fait \( \frac{\sqrt{3}}{6} \) est égal à l'aire de EGB. Je simplifie les 3 et le 6 et ça me fait \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) en EGB. J'ai l'aire de mon triangle EGB. Donc, toute la difficulté c'est de dire que ce volume de pyramide, ce volume de tétraèdre, vous allez le calculer d'une première manière en utilisant une base très simple et une hauteur très simple. Vous allez le calculer d'une deuxième manière en utilisant l'aire du triangle que vous recherchez et cette hauteur là que vous avez déterminé parce que vous avez calculé l'intersection de la droite F avec le plan EGB. Et vous allez isoler l'aire de EGB en passant la hauteur et le \( \frac{1}{3} \) de base fois hauteur de l'autre côté. On vous a mis des petits exercices en dessous pour que vous compreniez. Faites-le, ça va vraiment vous sauver pour le contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions.