13. Déterminer le projeté orthogonale d'un point sur un plan

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir un exercice complet du style de ce que vous allez avoir en contrôle ou au bac. J'ai voulu le raccourcir pour qu'il tienne en deux questions, mais la philosophie reste la même que sur des exercices plus longs. On se le fait tout de suite.

Exercice

On vous donne dans cet exercice un plan \(ABG\), le plan diagonal. On vous dit : "J'aimerais bien avoir le projeté orthogonal de \(Y\) sur le plan \(ABG\)". On a vu dans la compétence précédente que pour trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ou d'un point sur un plan, il fallait qu'on ait notre plan et il fallait qu'on trouve l'intersection entre le plan et la droite perpendiculaire au plan et qui passe par le point en question. Une fois que j'ai l'équation de la droite et l'équation du plan, je vais pouvoir trouver l'intersection des deux et trouver mon projeté orthogonal que je vais appeler par exemple \(H\). Le problème c'est que je n'ai pas l'équation du plan \(ABG\), même si je peux la trouver d'une manière ou d'une autre, et surtout je n'ai pas l'équation de la droite qui passe par \(Y\) et qui va s'enfoncer en diagonale perpendiculairement au plan \(ABG\). C'est pour ça que dans ces exercices, d'une manière ou d'une autre, vous avez forcément une première question où on vous demande de montrer qu'un certain vecteur, dont on vous a donné les coordonnées ou pas, est perpendiculaire au plan sur lequel vous allez faire le projeté orthogonal.

Solution

On va commencer par montrer qu'effectivement \(YJ\) est perpendiculaire au plan \(ABG\) et ensuite on va trouver les équations de \(YJ\) et \(ABG\) pour trouver leur intersection et trouver à l'intersection tout simplement le projeté orthogonal. Pour montrer qu'un vecteur est normal à un plan, il faut montrer que ce vecteur est perpendiculaire à deux vecteurs du plan qui ne sont pas colinéaires. Donc mon but c'est de montrer que \(YJ\) est perpendiculaire à \(AB\) et que \(YJ\) est perpendiculaire à \(AH\). De cette manière, j'aurais bien montré que \(YJ\) est perpendiculaire à deux vecteurs du plan \(ABG\) et que du coup \(YJ\) est bien normal au plan. On va le faire avec la formule que vous utilisez à chaque fois que vous devez montrer que deux vecteurs sont orthogonaux ou perpendiculaires : le produit scalaire. On va calculer le produit scalaire de \(YJ\) et de \(AB\), et de \(YJ\) et de \(AH\). Une fois que j'ai l'équation de la droite \(YJ\) et l'équation du plan \(ABG\), je vais pouvoir trouver l'intersection entre ces deux. Cette intersection sera le projeté orthogonal de \(Y\) sur la droite \(AB\), puisque je serais allé perpendiculairement au plan \(ABG\) en partant de \(Y\) jusqu'au plan \(ABG\). Pour trouver l'intersection, je vais remplacer les coordonnées \(x\), \(y\) et \(z\) par les coordonnées en fonction de \(t\). Une fois que j'ai trouvé la valeur de \(t\), je la remets dans l'équation de la droite et ça me donnera les coordonnées de l'intersection.

Conclusion

Je vous rappelle la stratégie pour trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan : il vous faut absolument l'équation de la droite perpendiculaire au plan et qui passe par ce point, et il vous faut l'équation du plan. Pour trouver ces deux équations, on va vous demander de montrer qu'un vecteur est normal au plan et vous allez utiliser ce vecteur non seulement pour l'équation de la droite mais pour l'équation du plan. Une fois que vous aurez vos deux équations, vous allez chercher l'intersection en remplaçant les coordonnées en \(t\) dans les coordonnées du plan. Vous allez trouver \(t\), le remettre dans l'équation de la droite et ça vous donnera les coordonnées de l'intersection. C'est un exercice type bac, on vous en a mis plein en dessous pour que vous puissiez vous entraîner. Vous pouvez recommencer autant de fois que vous voulez. À vous de jouer, vous êtes des champions !