📖 Fiche résumée

Introduction aux Primitives : Le Voyage Inverse de la Dérivation

En classe de Terminale, dans le cadre de la spécialité Mathématiques, le chapitre sur les primitives marque une étape fondamentale. Il représente le concept inverse de la dérivation, une notion que vous maîtrisez déjà. Si la dérivation consiste à trouver le taux de variation instantané d'une fonction, la recherche de primitives, ou "primitivation", consiste à retrouver la fonction originelle à partir de son taux de variation. C'est une compétence cruciale qui jette les bases du calcul intégral, un outil mathématique puissant utilisé dans de nombreux domaines tels que la physique pour calculer des aires, des volumes ou des travaux, en économie pour analyser des coûts marginaux, ou encore en probabilités. Cette fiche de cours a pour but de synthétiser les définitions, les formules et les méthodes essentielles pour maîtriser le calcul de primitives. Elle se veut un guide complet pour vous aider à naviguer dans ce chapitre, mais ne remplace pas une pratique assidue des exercices, seule garante d'une véritable aisance.

Qu'est-ce qu'une Primitive ? Définition Fondamentale

La relation entre une fonction et sa primitive est au cœur de ce chapitre. Comprendre cette définition est la première étape indispensable.

La Définition Formelle

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I, toute fonction F dérivable sur I telle que, pour tout réel x de I, on ait :

F'(x) = f(x)

En d'autres termes, dériver la primitive F nous redonne la fonction de départ f. On peut visualiser ce lien comme une boucle : si vous partez de F, que vous la dérivez pour obtenir f, alors "primitiver" f vous ramène à F. Cette relation est la clé de voûte de tout le calcul qui suit.

L'Ensemble des Primitives et la Constante d'Intégration

Une question se pose rapidement : une fonction admet-elle une seule primitive ? La réponse est non. Si F est une primitive de f, alors pour n'importe quelle constante réelle c, la fonction G(x) = F(x) + c est aussi une primitive de f. En effet, la dérivée de G est G'(x) = F'(x) + 0 = f(x), car la dérivée d'une constante est nulle.

Cela signifie qu'une fonction n'admet pas une unique primitive, mais une infinité de primitives qui ne diffèrent que par une constante. On parle de l'ensemble des primitives de f, que l'on note souvent sous la forme F(x) + c, où c est appelée la constante d'intégration.

Formulaire des Primitives des Fonctions de Référence

Pour calculer des primitives, il n'existe pas de méthode universelle comme pour la dérivation. La première étape consiste à mémoriser un formulaire de primitives des fonctions usuelles. Ce sont les briques de base qui vous permettront de construire des calculs plus complexes.

• Fonction constante : Si f(x) = k (où k est une constante), une primitive est F(x) = kx + c.
• Fonction puissance : Pour f(x) = xⁿ, avec n un entier différent de -1, une primitive est F(x) = (xⁿ⁺¹ / (n+1)) + c. Cette formule est l'inverse direct de la dérivation de xⁿ.
• Fonction inverse : C'est le cas particulier où n = -1. Pour f(x) = 1/x, une primitive sur l'intervalle ]0; +∞[ est F(x) = ln(x) + c. Attention au domaine de définition.
• Fonction racine carrée (forme puissance) : Pour f(x) = 1/√x, que l'on peut écrire x⁻¹/², une primitive sur ]0; +∞[ est F(x) = 2√x + c. On peut retrouver ce résultat avec la formule des fonctions puissance.
• Fonction exponentielle : La fonction f(x) = eˣ est remarquable car elle est sa propre dérivée. Par conséquent, elle est aussi sa propre primitive (à une constante près) : F(x) = eˣ + c.
• Fonctions trigonométriques : Il est essentiel de ne pas confondre les signes avec la dérivation.
  • Pour f(x) = cos(x), une primitive est F(x) = sin(x) + c.
  • Pour f(x) = sin(x), une primitive est F(x) = -cos(x) + c.

La maîtrise de ce formulaire est non négociable. Notre fiche de cours téléchargeable vous propose un tableau synthétique de ces formules pour une révision efficace.

Primitives et Opérations : Linéarité

Heureusement, la recherche de primitives se comporte bien avec les opérations de base que sont l'addition et la multiplication par un réel. Cette propriété, appelée linéarité, est fondamentale.

• Primitive d'une somme : La primitive d'une somme de fonctions est la somme de leurs primitives. Si F est une primitive de f et G une primitive de g, alors F + G est une primitive de f + g.
• Primitive d'un produit par un réel : La primitive d'une fonction multipliée par une constante k est k fois une primitive de la fonction. Si F est une primitive de f, alors kF est une primitive de kf.

Ces deux règles permettent de décomposer des fonctions complexes, comme les polynômes, en éléments plus simples dont on connaît les primitives grâce au formulaire.

Maîtriser les Primitives de Fonctions Composées

C'est souvent ici que les difficultés apparaissent. Reconnaître une forme de fonction composée est la compétence la plus importante de ce chapitre. Ces formules sont les images "inverses" des formules de dérivation des fonctions composées (notamment la règle de la chaîne).

Dans les formules qui suivent, u désigne une fonction u(x) et u' sa dérivée u'(x).

Formes en u'uⁿ et u'/uⁿ

Ces formes généralisent la primitive de xⁿ.

• Forme u'uⁿ (avec n ≠ -1) : Si une fonction se présente sous la forme f = u'uⁿ, alors une primitive est F = (uⁿ⁺¹ / (n+1)) + c. L'enjeu est d'identifier le bloc u et de vérifier que son facteur est bien sa dérivée u'.
• Forme u'/uⁿ (avec n ≠ 1) : C'est un cas particulier de la précédente (avec un exposant négatif). Une primitive de f = u'/uⁿ est F = -1 / ((n-1)uⁿ⁻¹) + c.

Formes avec Racine, Logarithme et Exponentielle

Ces trois formes sont extrêmement fréquentes dans les exercices et les sujets de baccalauréat.

• Forme u'/√u : Si une fonction s'écrit f = u'/√u (avec u(x) > 0), une primitive est F = 2√u + c.
• Forme u'/u : C'est sans doute la forme la plus importante. Une primitive de f = u'/u (avec u(x) > 0 sur l'intervalle considéré) est F = ln(u) + c. Savoir la reconnaître est un atout majeur.
• Forme u'eᵘ : La simplicité de l'exponentielle se retrouve ici. Une primitive de f = u'eᵘ est tout simplement F = eᵘ + c.

Formes Trigonométriques Composées

En miroir des formules de base, on retrouve les formes composées.

• Une primitive de f = u' cos(u) est F = sin(u) + c.
• Une primitive de f = u' sin(u) est F = -cos(u) + c.

La clé du succès pour ces formes composées est l'analyse. Il faut décomposer la fonction, poser une hypothèse pour u(x), calculer sa dérivée u'(x) et vérifier si elle correspond au reste de l'expression, quitte à ajuster des constantes multiplicatives.

Comment Déterminer une Primitive Particulière ?

Nous avons vu qu'il existe une infinité de primitives pour une fonction donnée, toutes représentées par F(x) + c. En pratique, on cherche souvent l'unique primitive qui satisfait une condition supplémentaire, appelée condition initiale.

Le Processus en 3 Étapes

Pour trouver la primitive F d'une fonction f qui s'annule en a (c'est-à-dire F(a) = 0) ou qui prend une valeur y₀ en a (c'est-à-dire F(a) = y₀), la méthode est toujours la même :

1. Trouver l'expression générale des primitives : On calcule une primitive G(x) de f(x) à l'aide des formulaires. L'ensemble des primitives est alors de la forme F(x) = G(x) + c.
2. Utiliser la condition initiale : On traduit la condition donnée en une équation. Par exemple, si on veut F(a) = y₀, on écrit l'équation G(a) + c = y₀.
3. Résoudre pour trouver la constante c : L'équation précédente a pour seule inconnue c. On la résout pour trouver sa valeur. Une fois c déterminée, on a l'expression de l'unique primitive recherchée.

Cette méthode est systématique et doit être parfaitement maîtrisée. Elle permet de passer d'une famille de courbes parallèles (les primitives) à une seule courbe passant par un point précis du plan.

Conclusion : Pratiquer pour Maîtriser

Le chapitre sur les primitives est un pivot du programme de Terminale Spécialité. Il demande un changement de perspective par rapport à la dérivation : il ne s'agit plus d'appliquer des algorithmes, mais de reconnaître des formes. La réussite passe inévitablement par une connaissance parfaite des dérivées et des formulaires de primitives, ainsi que par une pratique intensive pour éduquer son œil à identifier les structures u'uⁿ, u'/u, etc.

Cet article vous a fourni une vue d'ensemble détaillée des concepts et des méthodes. Pour une révision rapide et efficace, n'hésitez pas à consulter notre fiche de cours synthétique qui résume toutes les formules essentielles. Utilisez-la comme un aide-mémoire avant de vous lancer dans des séries d'exercices pour transformer ces connaissances théoriques en compétences solides.