9. Primitives de racines

Introduction

Bonjour à tous, nous allons voir comment trouver les primitives de fonctions comme celle-ci : \( \frac{2x}{\sqrt{5x^2 + 3}} \). Il s'agit de primitives de fonctions racine. Pour trouver une primitive de ce type, vous allez devoir identifier dans votre liste de primitives celle qui correspond le plus. Est-ce que c'est de la forme \(U' e^U\) ? Ou est-ce que c'est de la forme \( \frac{U'}{U} \)? Cela pourrait être le cas, car j'ai une fonction sous une racine qui me pose problème. Cependant, j'ai surtout une primitive qui ressemble beaucoup plus à \( \frac{U'}{\sqrt{U}} \). J'ai bien un \(U'\) ici et une racine d'une fonction en dessous. Donc, je vais partir sur cette fonction.

Identification de la fonction

Une fois que j'ai identifié cette formule, je vais écrire la phrase habituelle qui est de dire : on pose \(U = \), alors \(U' = \), alors \(f = \), donc \(F = \). C'est une manière de rédiger qui va me guider dans la rédaction de ma primitive. Je commence par identifier \(U\), qui est ce qu'il y a dans la racine au dénominateur, donc \(U = 5x^2 + 3\). Pour trouver \(U'\), je ne vais pas identifier ce qui est en haut, car le professeur peut vous avoir mis un mauvais coefficient, comme c'est le cas ici. Pour trouver \(U'\), je vais simplement prendre mon \(U\) et le dériver. Donc, la dérivée de \(5x^2 + 3\) est \(10x\).

Calcul de la primitive

À partir de là, je force le destin. Je veux que mon \(f\) soit de la forme \( \frac{U'}{\sqrt{U}} \), donc je l'écris : \(f = \frac{10x}{\sqrt{5x^2 + 3}}\). Cependant, ce n'est pas vrai. En réalité, \(f = \frac{2x}{\sqrt{5x^2 + 3}}\), et j'ai écrit \(f = \frac{10x}{\sqrt{5x^2 + 3}}\). Donc, je vais devoir trouver un coefficient multiplicateur pour que mon \(10x\) se transforme en \(2x\). Si je mets 3, \(3 \times 10x\) ne fait pas \(2x\). Si je mets \( \frac{1}{10x}\), cela ne fait pas \(2x\) non plus. En fait, je vais mettre \( \frac{1}{5}\), car \( \frac{1}{5} \times 10x\) donne \(2x\). Donc, si j'ajoute \( \frac{1}{5}\) ici, j'ai le droit de dire que \(f\) est de la forme \( \frac{U'}{\sqrt{U}} \). Pour trouver la primitive, je recopie mon coefficient multiplicateur, ensuite je mets la primitive de \( \frac{U'}{\sqrt{U}} \), et je remplace \(U\) par \(5x^2 + 3\). J'ajoute ma constante \(K\), qui est un réel, et c'est terminé. J'ai ma primitive : \(F = \frac{1}{5} \times 2 \sqrt{5x^2 + 3} + K\). Il ne vous reste plus qu'à vous entraîner avec les exercices proposés. Bon courage !