8. Primitives de fonctions puissances

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir les primitives de fonction de puissance qui permettent de traiter les cas comme \(f(x) = x \times (x^2 + 5)^4\) et \(g(x) = \frac{2x - 1}{(x^2 + x + 5)^9}\). On commence avec le premier.

Primitive de la fonction \(f(x) = x \times (x^2 + 5)^4\)

Vous connaissez votre fiche par cœur, vous savez que dès que vous voyez un objet à une certaine puissance, on va utiliser la formule \(U' \times u^n\) qui donne comme primitive \(u^{n+1} / (n+1)\). On pose \(u = x^2 + 5\). Sa dérivée \(U'\) est \(2x\). On remarque que notre fonction \(f(x)\) est de la forme \(U' \times u^n\) avec \(n=4\), mais au lieu de \(U'\) on a \(x\), qui est la moitié de \(U'\). Donc, notre fonction \(f(x)\) est en fait \(\frac{1}{2} \times U' \times u^4\). La primitive de \(f(x)\) est donc \(\frac{1}{2} \times \frac{u^{4+1}}{4+1} + C\), soit \(F(x) = \frac{1}{10} \times (x^2 + 5)^5 + C\), où \(C\) est une constante appartenant à \(\mathbb{R}\).

Primitive de la fonction \(g(x) = \frac{2x - 1}{(x^2 + x + 5)^9}\)

Pour traiter le cas où la puissance est au dénominateur, on utilise une astuce : on réécrit \(g(x)\) en utilisant une puissance négative, soit \(g(x) = (2x - 1) \times (x^2 + x + 5)^{-9}\). On pose \(u = x^2 + x + 5\). Sa dérivée \(U'\) est \(2x + 1\). On remarque que notre fonction \(g(x)\) est de la forme \(U' \times u^n\) avec \(n=-9\). La primitive de \(g(x)\) est donc \(\frac{u^{-9+1}}{-9+1} + C\), soit \(G(x) = -\frac{1}{8} \times (x^2 + x + 5)^{-8} + C\), où \(C\) est une constante appartenant à \(\mathbb{R}\). Pour rendre la réponse sous la forme d'un quotient, on réécrit \(G(x)\) comme \(G(x) = -\frac{1}{8(x^2 + x + 5)^8} + C\). Voilà, on a traité les deux cas. Entraînez-vous, cela tombe souvent au contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions !