9. Loi binomiale : calculer la variance

Introduction

Allez les amis, on est parti pour parler rapidement de variance et d'écart-type pour des lois binomiales et voir comment on les calcule. On se fait ça tout de suite.

Variance et écart-type

Alors autant l'espérance d'une loi binomiale, vous êtes capable de l'interpréter, c'est-à-dire que vous pouvez tomber face à des exercices où on vous dit calculer et interpréter l'espérance de la loi binomiale, autant la variance et l'écart-type, c'est-à-dire \(V(X)\) et \(\sigma(X)\), on peut vous demander de les calculer mais on vous demandera jamais de les interpréter. Pour les calculer, il n'y a rien de plus simple. Une fois que vous avez votre loi binomiale et que vous avez réussi à montrer en utilisant la phrase que vous connaissez par cœur qui est de dire "on répète une expérience aléatoire à deux issues possibles de manière indépendante et identique", vous savez que votre loi suit donc une loi binomiale du paramètre combien de fois je vais répéter mon expérience. Ici, j'ai 100 000 abonnements par mois donc je vais répéter 100000 fois l'expérience donc 100 000 et quelle est la probabilité de mon succès ? La probabilité du succès c'est 95% donc 0,95. Vous savez que ce paramètre là il s'appelle \(n\) et que ce paramètre là il s'appelle \(P\). La variance c'est \(n \times P \times (1-P)\) et l'écart-type c'est la racine de la variance donc \(\sqrt{n \times P \times (1-P)}\).

Interprétation de la variance et de l'écart-type

Le calcul c'est un truc de chef, ce qui est intéressant c'est l'interprétation qui n'est pas au programme mais qu'on va faire quand même. Qu'est-ce que c'est que la variance et l'écart-type d'une distribution ? Admettons que je sois en train de jouer aux fléchettes. Donc au fléchettes, vous savez que vous avez un cercle, deux cercles, trois cercles et ainsi de suite et que les chiffres sur les cercles, pour simplifier, vont de 20 jusqu'à 1 en descendant comme ça 18, 17. Moi je vais essayer de viser le centre de la flèche et je vais lancer admettons mille fois la flèche donc je vais faire 1000 tentatives et je vais compter à chaque fois combien de fois j'ai fait le meilleur score 20, combien de fois j'ai fait 19, combien de fois j'ai fait 18. Si je vais représenter ça, ça va donner quelque chose comme ça. Là c'est tous les chiffres que je peux faire donc entre 1, 2, 3 et ainsi de suite jusqu'à 17, 18, 19 et 20. Je vais avoir fait un certain nombre de fois le chiffre 1, sauf que le chiffre 1 a priori il est très éloigné du chiffre 20 donc je suis pas très bon au fléchettes donc je vais là en fait par exemple j'en sais rien, 10 fois le pire résultats. Je vais avoir fait un peu plus le chiffre 2, un peu plus le chiffre 3, ça va monter, ça va monter, ça va monter. Le maximum que j'ai fait, le chiffre sur lequel je suis arrivé le plus souvent c'est par exemple 13 donc 13 j'ai eu 13 j'en sais rien par exemple 54 fois et ensuite plus je me rapproche de 20 plus ça baisse et le chiffre 20 c'est-à-dire le centre de la cible, j'y suis arrivé que 10 fois. Donc ça, ça s'appelle une distribution. On peut calculer deux choses. On peut calculer la moyenne donc la moyenne de la distribution ici ça va être ça, ça va être l'espérance de ma loi binomiale. La variance ça va être de dire "bon je prends ma moyenne et je vais calculer en moyenne comment est-ce que mes valeurs s'éloignent de ma moyenne". Donc je calcule toutes ces distances là, toutes ces distances là et je vais faire la moyenne. Plus l'espérance est grande, plus ces distances sont grandes donc plus l'espérance est grande, plus la variabilité de ma variable est grande, plus elle a tendance à prendre des valeurs éloignées. Inversement, plus la variance est petite, plus ma courbe va être condensée. Donc en gros, des courbes à grande espérance c'est des courbes qui ont à peu près cette tête là donc là vous voyez que les valeurs sont toutes éloignées les unes des autres alors que des courbes à faibles espérance, ce sont des courbes où les valeurs sont concentrées autour de la moyenne. Donc si vous avez une grande variance quand vous faites votre expérience, vous n'êtes pas très précis sur votre prévision sur un coup, c'est-à-dire que si ma variable varie beaucoup, quand je prends un résultat j'ai peu de chances qu'il tourne autour de la moyenne. Alors que pour une expérience avec une variable qui a une variance très faible, quand je prends un résultat j'ai de fortes chances de tomber près de la moyenne. C'est notamment ça dont on se sert pour faire des tests statistiques. Les tests statistiques c'est ce qui vous permet de savoir si quand vous observez quelque chose, ce quelque chose il est vraisemblablement dans la moyenne, c'est-à-dire si ce que vous observez a une chance d'être généralisable. Autrement dit, je croise quelqu'un dans la rue, il a les cheveux verts, est-ce que j'ai vraiment une chance de pouvoir dire que tous les humains ont les cheveux verts ou est-ce que c'est une anomalie statistique ? On vous a mis des exercices en dessous, entraînez-vous, ça c'est très intéressant et surtout ça va vous servir dans le supérieur. Il faut que ça soit carré, à vous de jouer, vous êtes des champions.