7. Loi binomiale : probabilité d'être supérieur à

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment calculer des probabilités d'être plus grand qu'un certain nombre avec des lois binomiales, c'est-à-dire des probabilités qui se notent comme ça : la probabilité que \(X\) soit supérieur ou égal à 3. On va voir ça tout de suite.

Exemple d'exercice

Vous êtes face à un exercice. Dans cet exercice, on vous dit : j'ai une expérience de base. Ici, mon expérience de base c'est faire un tirage dans une urne qui contient 6 boules rouges et 2 boules noires. Donc je prends une boule, je regarde la couleur de la boule, je la remets. Ça, c'est mon expérience de base. Il y a que deux issues : soit j'ai une boule rouge, soit j'ai une boule noire, soit j'ai un succès, soit j'ai un échec. On répète ça 10 fois. Ça vous dit rien ? Ah ben, c'est une loi binomiale. Pourquoi ? Parce que j'ai une répétition d'une expérience aléatoire à deux issues possibles de manière indépendante et identique. J'ai les quatre bouts qui me faut pour justifier ma loi binomiale. Du coup, je peux d'ores et déjà dire que cette expérience là, cette variable \(X\) qui compte le nombre de fois où j'ai une boule rouge, elle suit une loi binomiale. Deux paramètres : \(n\), le nombre de fois où je vais répéter mon opération, donc 10 fois, et \(p\), la probabilité du succès. Le succès étant ce qu'on compte, c'est-à-dire d'avoir une boule rouge. C'est quoi la probabilité d'avoir une boule rouge ? Et bien, j'ai 6 plus 2, 8 boules en tout. J'en ai 6 rouges et deux noirs, donc celles qui me donnent du succès, c'est les 6. Donc \(6 / 8\), ça me fait \(3 / 4\). J'ai les paramètres de ma loi binomiale, je vais donc pouvoir commencer à calculer.

Calcul de probabilité

Sauf que pour calculer la probabilité d'avoir au moins une boule rouge, il faut d'abord que je transforme cette phrase là en une probabilité en \(P(X)\) quelque chose par rapport à quelque chose. Sauf que "avoir au moins une boule rouge", on l'a déjà vu dans la compétence "transformer les phrases en probabilité". Si j'ai au moins une boule rouge, c'est-à-dire que j'en ai une, j'en ai deux, j'en ai trois, j'en ai quatre et ainsi de suite jusqu'à 10. Donc c'est la probabilité que \(X\) soit supérieur ou égal à 1. Et là, vous vous dites : oui, super, sauf que la probabilité de super-héros, les deux seuls trucs que je peux calculer, c'est la probabilité d'être égal à un nombre, soit à la main avec la formule compliquée, soit avec la calculette avec la fonction binôme FDP, ou la probabilité d'être plus petit qu'un nombre. Mais la propriété d'être plus grand qu'un nombre, je ne veux pas la calculer. Donc on se détend, on se fait notre petit schéma. Finalement, combien de fois je peux tirer une boule rouge ? Bah, soit zéro fois, soit une fois, soit deux fois, trois, quatre, cinq ou six. Et moi, je cherche la probabilité d'être plus grand que 1, donc je cherche tout ça. Soit j'y vais comme une brute, je dis que c'est la probabilité d'être égal à 1 plus la probabilité d'être égal à 2 plus 3 + 4 + 5 + 6 en utilisant à chaque fois la fonction binôme FDP de la calculatrice. Soit je me la joue malin, je dis que tout ça là, la probabilité de faire soit 0, soit 1, soit 2, soit 3, soit 4, soit 5, soit 6, ça vaut 1. J'ai 100% de chance de faire soit 0 boule rouge, soit une boule rouge, soit deux, etc. Et moi, cette probabilité là, je peux la calculer facilement. Là, ça c'est \(P(X = 0)\). Donc ce que je cherche en bleu là, c'est tout simplement donc l'aire totale moins la probabilité que \(X\) soit égal à 0. Vous voyez bien que ce que vous cherchez, le bout en bleu là, la probabilité d'être plus grand que 1, c'est donc l'aire totale moins le petit bout qui est en noir là. Et ça, maintenant, vous pouvez le calculer avec un binôme FDP et vous avez réglé le problème de l'exercice. Je ne le fais pas, ce n'est pas l'objet. On continue. Qu'est-ce qui se passe si je vous dis "au moins 4 boules rouges" ? Donc "au moins 4 boules rouges", vous voulez écrire, c'est la probabilité que \(X\) soit supérieur ou égal à 4. Sauf que si vous refaites votre schéma avec zéro, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 succès, ça va être compliqué. Si en fait, on va se dire que vu qu'on fait 10 tirages, ça va être compliqué de dire que la probabilité que \(X\) soit plus grande que 4, c'est à dire ça, c'est la probabilité que \(X = 4\) plus ça, c'est la probabilité que \(X = 5\) plus la probabilité que \(X = 6\), et ainsi de suite jusqu'à 10. Vous n'allez pas faire la somme là, vous allez faire la même astuce. Vous allez dire que ça, l'aire qu'on cherche en noir, c'est l'aire totale, donc c'est tout ça. Or, cette aire, elle vaut 1, à laquelle on va soustraire cette aire là, et cetera, c'est la probabilité que \(X\) soit inférieur ou égal à 3. Et là, bingo, parce que la probabilité que \(X\) soit inférieur ou égal à 3, vous pouvez la calculer à la calculatrice avec la fonction binomcdf.

Conclusion

On vous a mis des petits exercices en dessous pour vous entraîner à la calculatrice. À vous de jouer, vous êtes des champions !