6. Loi binomiale : probabilité d'être inférieur à

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir le premier cas compliqué avec les lois binomiales. C'est quand vous devez calculer des probabilités que \(X\) soit inférieur ou égal à quelque chose. On se fait ça tout de suite.

Exemple d'exercice

On vous présente un exercice où on vous dit : j'ai une urne, donc une nuance, un genre de vase, avec des boules rouges et des boules noires. On a 6 boules rouges et 2 boules noires. On tire 10 fois avec remise et on vous demande de calculer des probabilités. D'abord, on analyse le sujet. On a des boules rouges et des boules noires et on va compter le fait d'obtenir des boules rouges. Donc, on est d'accord que notre expérience de Bernoulli, notre expérience primitive, ça consiste à prendre une boule et à regarder si elle est rouge ou pas. J'ai deux boules noires et 6 boules rouges, donc mes chances d'avoir une boule rouge c'est \(6\) divisé par le nombre total de boules, c'est à dire \(8\). \(6 / 8\) ça me fait \(3/4\), donc la probabilité du succès c'est trois quarts. Donc je sais déjà que dans mon expérience binomiale, mon \(P\) il vaudra \(3/4\). Pourquoi est-ce que je sais que c'est une expérience binomiale ? Parce qu'on va répéter, on fait 10 tirages, une expérience de Bernoulli, l'expérience qui consiste à prendre une boule et regarder si elle est rouge, de manière indépendante et identique parce qu'on a des remises. Autrement dit, je remets la boule à chaque fois donc les conditions ne changent pas. Donc je suis bien face à une loi de Bernoulli de paramètres \(n = 10\), je vais répéter 10 fois l'expérience et la probabilité du succès c'est trois quarts.

Calcul de probabilité

Maintenant que j'ai justifié que j'étais face à une loi de Bernoulli, je vais regarder la probabilité d'avoir au plus une boule rouge. Donc, la probabilité d'avoir au plus une boule rouge, ça veut dire que le nombre maximal de boules que j'obtiens qui sont rouges c'est une. Du coup, le nombre de boules que j'ai, il est comment par rapport à 1 ? Il est plus petit vu que le max c'est un. Donc moi je cherche la probabilité que \(X\) soit inférieur ou égal à 1. Il y a deux manières de le faire. La première, c'est de se dire : finalement, la probabilité d'être inférieure ou égal à 1, si je réfléchis en termes de possibilité de boule, soit j'ai zéro boule rouge, soit j'en ai une, soit j'en ai deux, soit j'en ai trois et ainsi de suite jusqu'à 10. Si je veux être inférieur ou égal à 1, c'est à dire ces deux possibilités là, je vais calculer la probabilité pour \(X\) d'être égal à zéro, donc cette probabilité là, et je vais y ajouter la probabilité pour \(X\) d'être égal à 1. Et là, deux possibilités : soit vous les calculez avec la formule qui s'affiche là, soit vous la calculez en utilisant la fonctionnalité binôme FDP de la calculatrice qui vous permet de calculer une probabilité exacte et vous avez votre réponse.

Utilisation de la calculatrice

Pour utiliser la fonction binomcdf, vous allez faire comme pour utiliser la fonction binompdf. Vous allez faire seconde et aller dans distribution. Deux distributions, vous descendez, vous descendez. Donc là, ma calculatrice à moi, elle est en anglais, mais c'est la même chose sur la vôtre et vous avez vos deux fonctions. La première c'est binompdf, la deuxième c'est binomcdf. Donc moi, je veux calculer la probabilité que \(X\) soit plus petit que 4, donc je vais sélectionner binomcdf. Je vais dire que mon nombre d'essai, c'est à dire combien de fois je vais tirer ma boule, c'est 10. La valeur de \(p\), je la rentre, donc nous on a dit que notre valeur de \(p\) c'était tout simplement \(3/4\). Et je veux savoir quand est-ce que \(X\) est plus petit que 4, donc la valeur de \(x\), je vais mettre tout simplement 4. Et ensuite, je fais entrer, ça me met dans la console et j'ai ma probabilité \(0,19\) que je vais arrondir à \(0,2\) vu que c'est \(19,72\). Donc cette probabilité, elle vaut \(0,2\).

Conclusion

Qu'est-ce qui se passe si je vous avais demandé par exemple la probabilité que \(X\) soit strictement plus petit que trois ? Là, vous ne pouvez pas utiliser la fonctionnalité binomcdf puisque binomcdf ne fonctionne que quand il s'agit de calculer des inférieurs ou égal. Donc vous allez devoir transformer ça en inférieur ou égal de la manière suivante : la probabilité d'être strictement plus petit que trois, c'est finalement la probabilité d'être inférieur ou égal à ce qui a juste avant 3, c'est-à-dire 2. Et pour le coup, ça, vous avez le droit de le calculer avec binomcdf. On vous a mis des exercices en dessous, c'est la petite manipulation de calculette. Apprenez à vous servir de ça, apprenez à comprendre ce qui se passe. On va en avoir énormément besoin pour la prochaine compétence. À vous de jouer, vous êtes des champions.