4. Calculer une probabilité de loi binomiale à la main

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment calculer des probabilités en loi binomiale, presque à la main, presque sans utiliser la calculatrice. On se fait ça tout de suite.

Exemple d'exercice

On vous donne un exercice, on vous raconte une petite histoire. Donc, on lance une pièce 15 fois. On a une variable \(X\) qui compte le nombre de fois où on va faire pile et on vous demande quel est la probabilité de faire exactement trois fois pile.

Justification de la loi binomiale

Première étape, on va justifier qu'il s'agit bien d'une loi binomiale. On a une expérience de Bernoulli qui est de faire un pile ou face, avec deux issues possibles : soit pile, soit face. C'est bien aléatoire, aucun problème. Je le répète de manière indépendante et identique. Du coup, je suis face à une loi binomiale. Tu peux le noter avec le \(B\) mega stylé, deux paramètres \(n\) et \(p\). \(n\) est le nombre de fois où je répète l'expérience, en l'occurrence 15 fois, et \(p\) est la probabilité de réussir une des expériences de Bernoulli, donc une des petites expériences qu'on répète. Quelle est la probabilité de réussir, c'est-à-dire de faire pile en l'occurrence à un pile ou face ? C'est \(1/2\). Donc, je sais que ce que j'ai là, le nom de ce paramètre, c'est \(n\), le nombre de fois où je répète l'expérience. Ce que j'ai là, c'est \(p\), la probabilité du succès.

Calcul de la probabilité

Je transforme ma phrase en inégalité mathématique. La probabilité de faire exactement trois fois pile, ça donne \(P(X = 3)\). Et j'ai ma formule qui s'affiche là : \(P(X = k) = C_n^k \times p^k \times (1 - p)^{n - k}\). Donc, je reprends mon expression ici en remplaçant \(n\), \(k\) et \(p\) par les valeurs qui me sont données. Donc ici, mon \(k\) vaut 3, donc ça me fait \(C_{15}^3 \times (1/2)^3 \times (1 - 1/2)^{15 - 3}\). Et je simplifie : \(C_{15}^3 \times (1/2)^{3 + 12}\). Je vous rappelle que \(a^{b + c} = a^b \times a^c\). Donc, ça me fait \(C_{15}^3 \times (1/2)^{15}\).

Calcul final

Soit je laisse \(C_{15}^3\), soit je le calcule à la calculatrice. Par exemple, avec une calculatrice, en allant dans la petite valise qui est là, en sélectionnant tout tranquillement mes probabilités, le dénombrement, \(C_n^k\), OK, et je vais taper : ben moi, je veux 15 et en dessous je veux 3, parce que c'est ça que je veux calculer. Et c'est parti, 455. Et je me retrouve avec \(455 \times (1/2)^{15}\). Si vous laissez \(C_{15}^3 \times (1/2)^{15}\), personne ne pourra vous juger. On vous a mis des exercices en dessous, entraînez-vous à faire ça. Après, ça va devenir un peu plus compliqué, mais j'ai confiance en vous, vous êtes des champions.