10. Loi binomial : calculer le nombre minimal d'essais pour ...

Introduction

Salut les amis, nous allons aborder un des exercices les plus typiques des devoirs maison, des contrôles et des bacs en terminale : la loi binomiale. Il s'agit de questions qui demandent de calculer un nombre minimal d'essais : combien de fois au minimum doit-on répéter une expérience, combien de jours, etc. Pour illustrer cela, prenons l'exemple d'un très mauvais pêcheur. Les jours où il va pêcher, il a une chance sur 100, donc 1% de chance, d'attraper du poisson.

Première question : probabilité d'attraper au moins un poisson en 10 jours

La première question est : Quelle est la probabilité qu'il attrape au moins un poisson s'il va pêcher pendant 10 jours ? Pour répondre à cette question, nous allons utiliser la loi binomiale. Nous avons une expérience aléatoire à deux issues possibles : soit le pêcheur attrape du poisson, soit il n'en attrape pas. Cette expérience est répétée un certain nombre de fois (10 jours) de manière indépendante, c'est-à-dire que le résultat de la pêche un jour n'affecte pas les résultats de la pêche le jour suivant. De plus, l'expérience est identique chaque jour, c'est-à-dire que le pêcheur retourne pêcher au même endroit chaque jour. Nous pouvons donc dire que \(X\), la variable qui donne le nombre de jours où le pêcheur attrape du poisson, suit une loi binomiale de paramètres \(n\), le nombre de fois où le pêcheur est allé pêcher (10 jours), et \(p\), la probabilité du succès (malheureusement pour le pêcheur, elle est extrêmement faible, soit 0.01). Pour calculer la probabilité qu'il attrape du poisson au moins une fois sur les 10 jours, nous devons transformer la phrase "au moins une fois pendant les 10 jours" en mathématiques. Cela signifie que nous voulons savoir quelle est la probabilité que le nombre de jours où il a attrapé du poisson soit au moins égal à 1, c'est-à-dire plus grand ou égal à 1. Nous savons que le pêcheur peut attraper du poisson 0, 1, 2, 3, ..., ou 10 fois. Donc, lorsque nous nous demandons quelle est la probabilité qu'il attrape du poisson plus d'une fois, nous pouvons dire que c'est 1 moins la probabilité qu'il n'attrape pas de poisson, soit \(1 - P(X = 0)\). En utilisant une calculatrice, nous trouvons que \(P(X = 0) \approx 0.9\), donc la probabilité que le pêcheur attrape du poisson au moins une fois est \(1 - 0.9 = 0.1\), soit 10%.

Deuxième question : nombre de jours nécessaires pour avoir 95% de chance d'attraper un poisson

La deuxième question est : combien de jours le pêcheur doit-il pêcher pour avoir 95% de chance d'attraper un poisson ? Pour répondre à cette question, nous devons résoudre l'équation \(P(X \geq 1) = 0.95\), c'est-à-dire que nous voulons que la probabilité que le pêcheur attrape du poisson soit supérieure ou égale à 95%. Ce que nous cherchons ici, c'est le nombre de fois que nous devons répéter l'expérience, c'est-à-dire le paramètre \(n\) de notre loi binomiale. En transformant notre équation, nous obtenons \(P(X = 0) = 1 - 0.95 = 0.05\). Nous cherchons donc le paramètre \(n\) de notre loi binomiale tel que la probabilité de ne pas attraper de poisson soit égale à 0.05. En utilisant une calculatrice et en testant différentes valeurs de \(n\), nous trouvons que le pêcheur doit pêcher pendant 298 jours pour avoir 95% de chance d'attraper un poisson.

Conclusion

Voilà, nous avons résolu notre problème en utilisant la loi binomiale. N'hésitez pas à vous entraîner avec d'autres exercices similaires, en changeant par exemple le nombre minimal de succès ou le nombre d'essais. Bonne chance !