7. Composition de limites

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment traiter très simplement des problèmes de composition de limites. On se fait ça tout de suite. Une composition de limites, c'est quand vous avez une fonction qui est intégrée à l'intérieur d'une autre fonction. Autrement dit, quand \(x\) tend vers l'infini, avant de passer à la moulinette de l'exponentielle, elle va d'abord passer par \(5x^2 + 3\) qui va le transformer en une autre limite. Une fois qu'on connaîtra cette limite, on pourra appliquer la nouvelle limite à \(x\).

Pratique

Comment ça se passe en pratique ? Eh bien, on a en gros un petit code pour les couleurs pour que vous compreniez comment agir. Premièrement, on s'occupe du bout \(x\) et ensuite du bout intérieur. On commence par le bout à l'intérieur de la fonction. Donc je vais faire la limite quand \(x\) tend vers l'infini de \(5x^2 + 3\). Donc je commence par \(x^2\). \(x^2\) tend vers l'infini, ça fait plus l'infini. \(5x^2\) fait toujours plus l'infini et plus l'infini plus trois, ça fait toujours plus l'infini. Donc je me retrouve avec plus l'infini. Donc je sais que le bout qui est à l'intérieur, il tend vers plus l'infini. J'ai plus qu'à me demander la limite de l'exponentielle de quelque chose quand ce quelque chose tend vers plus l'infini. La limite de l'exponentielle de quelque chose quand ce quelque chose tend vers plus l'infini, c'est plus l'infini. Pour ceux qui ont un doute, je vous rappelle les trois formes que vous devez connaître par coeur avec l'exponentielle. Jusque là, on a fait ça, on peut dire que par composition, la limite de l'exponentielle de \(5x^2 + 3\) quand \(x\) tend vers moins l'infini, c'est plus l'infini.

Deuxième exemple

On se fait le deuxième. Alors on a encore une fonction enveloppe et une fonction coeur. La fonction qui enveloppe, c'est la fonction racine. Donc on va commencer par calculer \(9 - \frac{3}{x^2}\) quand \(x\) tend vers l'infini. Donc la limite quand \(x\) tend vers l'infini de \(9 - \frac{3}{x^2}\), ça tend vers plus l'infini. \(\frac{3}{x^2}\) tend vers zéro. Donc \(9 - 0\) ça fait neuf. Maintenant que je connais la limite de ce qui est à l'intérieur, c'est à dire neuf, je vais calculer la limite de la racine de quelque chose quand ce quelque chose tend vers neuf. Et bien ça me fait la racine de neuf, sauf que la racine de neuf, ça fait 3. Du coup, j'en conclus que par composition, la limite de la racine de \(9 - \frac{3}{x^2}\) est 3. On vous a mis des petits exercices de composition en dessous avec des textes à compléter pour que vous maîtrisiez bien la notation. À vous de jouer, vous êtes des champions !