2. Limites en a+ et a-

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir un petit cas particulier de limite qui est très simple mais qui va vous rendre complètement marteau : les limites en \(0^+\) et en \(0^-\). On se fait ça tout de suite.

Comprendre les limites \(0^+\) et \(0^-\)

Alors, je m'explique. Qu'est-ce que ça veut dire une limite en plus ou en moins ? Prenons par exemple la limite quand \(x\) tend vers \(3^+\) de \(2x - 3\). La limite quand \(x\) tend vers \(3^+\) de \(2x - 3\), c'est à dire que \(x\) va se rapprocher de \(3\), mais il va se rapprocher pas n'importe comment. Il ne va pas se rapprocher par le bas, c'est à dire qu'il ne va pas valoir \(2.9999999999\) parce que c'est ça être infiniment près de \(3\), mais il va plutôt valoir \(3.0000000001\). Donc quand \(x\) tend vers \(3^+\), vous vous dites : \(x\) sera proche de \(3\), il est infiniment près de \(3\), mais il est quand même un chouïa au dessus.

Exemple pratique

Donc, si \(x\) vaut \(3.0000000001\) et que je lui enlève \(3\), ça va faire \(0.0000000001\), donc ça va faire \(0\), oui, mais un \(0\) qui est très légèrement positif, \(0^+\). À l'inverse, si je m'étais rapproché de \(2x - 3\) en passant par le bas, en étant vers \(3^-\), j'aurais eu \(2.9999999999 - 3\), c'est à dire \(-0.0000000001\), donc un \(0\) légèrement négatif, \(0^-\). Vous allez me dire, mais enfin, qu'est-ce qu'on en a à faire que ce soit légèrement positif ou légèrement négatif ? Eh bien, regardez ce qui se passe avec un exemple tout bête. Où je prends un chiffre, par exemple \(7\), et je vais le diviser par \(0.0000000001\). Là, je me pose la question : combien de fois je rentre \(0.0000000001\) dans \(7\) ? Un paquet de fois, probablement sept cent mille milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de fois. Donc en fait, une infinité de fois. Sauf que si au lieu de \(0.0000000001\), c'était légèrement négatif, ça me changerait le signe ici. Donc, vous voyez que le cas où le \(0^+\) ou le \(0^-\) va compter plus que tout, c'est quand vous allez avoir des quotients limites. Pour l'instant, voyons un cas un peu plus prise de tête de limites en zéro.

Conclusion

Donc, on retient qu'en général, quand on vous donne l'indication sur le côté plus ou moins de la limite au niveau du bas, il y a une indication à donner sur le côté plus ou moins des limites au niveau du haut. La limite de \(x^2 - 1\) quand \(x\) tend vers \(-1\) en étant plus petit que \(-1\), ça c'est juste une manière de dire que si je me rapproche de \(-1\) en étant plus petit, c'est à dire en étant ici, je me rapproche de \(-1\) par le bas. Donc c'est comme si j'avais \(x\) tend vers \(-1^-\). Je suis proche de \(-1\), légèrement en dessous. Quel est le nom proche de \(-1\), légèrement en dessous ? Mais c'est \(-1.0000000001\). Alors que à droite de \(-1\), ça aurait été \(-0.9999999999\). Faites-vous l'indécent et aucun moins de 165, franchement vous allez vous bourrer, c'est compliqué. Donc, on a notre \(x\) qui tendait à \(-1\), donc il vaut \(-1.0000000001\). Qu'est-ce que devient \(x^2 - 1\) ? \(x\) est égal à \(-1.0000000001\), donc \(x^2\) est égal à \(1.0000000001\). Et si je prends \(1.0000000001\) et que je lui enlève \(1\), ça me fait \(0.0000000001\), c'est-à-dire un nombre qui sera proche de zéro en étant légèrement au dessus de zéro, \(0^+\). On vous a donné des exercices, entraînez-vous, parce que là ça va être extrêmement décisif sur les quotients quand vous allez avoir des limites de \(1/x\) qu'on va voir dans deux vidéos. À vous de jouer, vous êtes des grosses machines.