18. Asymptotes et position relative

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment étudier la position relative d'une fonction et son asymptote. Si cela tombe au contrôle, ces garanties, on se fait ça tout de suite.

Étude de la position relative d'une fonction et son asymptote

Pour étudier la position relative d'une fonction et son asymptote en maths, on va faire ce qu'on a toujours fait quand on veut étudier des positions relatives. C'est à dire qu'on va faire la différence, la soustraction, et étudier le signe. On vous donne une fonction, on vous demande d'étudier la position relative de \(f\) et son asymptote en \(+\infty\). Commençons par trouver l'asymptote. La limite de \(9 + 2x\) parce que c'est ça chercher une asymptote en \(+\infty\), c'est se demander quelle est la valeur de la limite en \(+\infty\). Cette limite elle vaut \(2 + \frac{3x}{x^2 + 2}\). Sauf que le terme le plus fort c'est le \(x^2\) en bas, le terme le plus fort c'est \(x\) en haut. \(x^2\) va l'emporter sur \(x\) donc ça fera \(0\). Donc pas de limite, c'est \(2\). Si vous voulez le démontrer proprement et si vous ne savez pas le faire, aller voir cette vidéo. On factorise en haut par \(x\) et en bas par \(x^2\). Allez, je me chauffe, je vous le fais. Donc ça le fait, il se ferait \(2 + \frac{3x}{x^2 + 2}\). Je le fais pour la démonstration. Donc \(2 + \frac{3x}{x^2 + 2}\) factoriser par \(x^2\), donc ça me fait \(x^2(2 + \frac{3}{x^2 + 2})\). Donc ça et ça, ça simplifie en \(3 / x^2\), ça tend vers zéro. Un \(x^2\) après ça, ça fait zéro donc la limite c'est bien \(2\). Si vous n'avez rien compris, ce n'est pas grave, vous allez tranquillement voir la compétence où on apprend à lever les indéterminations, puis vous revenez pour continuer l'exercice très simplement. Donc on a montré que la limite en \(+\infty\) était \(2\). Du coup, on a une asymptote horizontale d'équation \(y = 2\).

Étude de la position relative de la fonction et de son asymptote

Formidable, on a l'asymptote et on applique le cours pour étudier la position relative d'une fonction et de son asymptote. On fait la différence des deux et on utilise un tableau de signes. Donc on va faire \(f(x) - 2\), c'est à dire \(2 + \frac{3x}{x^2 + 2} - 2\). Donc ça me fait \(\frac{3x}{x^2 + 2}\). Encore une fois, vous voulez étudier le signe de cet objet, donc on va faire ce qu'on fait chaque fois qu'on veut étudier le signe quand il y a un quotient ou un produit, on va faire un tableau. Donc une ligne avec \(x\), une ligne avec mon numérateur donc \(3x\), une ligne avec mon dénominateur \(x^2 + 2\) et une ligne avec la totale, \(f(x) - 2\). Alors \(3x\) ça s'annule en \(0\), ici ça vaut zéro, avant c'est négatif, après c'est positif. \(x^2 + 2\) c'est tout le temps positif. Du coup, \(f(x) - 2\) ça s'annule ici, avant c'est négatif, après c'est positif. Donc l'asymptote \(f(x) - 2\) est négative ici, donc ça veut dire que la fonction est en dessous de son asymptote en \(-\infty\) jusqu'à \(0\) et au dessus de l'asymptote de \(0\) jusqu'à \(+\infty\). Ici \(f\) est en dessous et ici \(f\) est au dessus. C'est aussi simple que ça pour étudier la position relative de deux objets. Je fais la différence et j'étudie le signe. On vous a mis des exercices en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions.