11. Lever une indétermination 0/0 : conjugué

Introduction

Allez les amis, c'est parti ! Nous allons voir la deuxième vidéo sur comment lever des formes indéterminées \(0 / 0\) avec la technique redoutable du conjugué. Quand on a une racine, on se fait ça tout de suite.

Problème de forme indéterminée

Vous tombez face à une limite dans un nombre précis, vous faites un petit calcul, vous vous rendez compte que \(3 - x\) quand \(x\) tend vers \(3\), ça fait \(0\). Racine de \(3 - x\) quand \(x\) tend vers \(3\), ça fait racine de \(3 - 3\), ça fait \(0\). Vous avez \(0 / 0\), pas de panique, on est là pour régler ce problème. Vous ne pourrez pas factoriser ce polynôme là, parce que c'est un polynôme de degré \(2\), autrement dit, il est déjà sous une forme limite. Factoriser \(x - a\) où \(a\) est la racine, ce qu'on va faire dans ces exercices là où vous avez des racines en dessous, c'est multiplier en haut et en bas par le conjugué.

Technique du conjugué

Comme on l'a déjà fait avec les limites sur les suites, vous allez prendre votre forme du bas, \(x\), et le conjugué, c'est à dire non pas racine de \(3 - x\), mais racine de \(3 + x\). Et vous avez le droit de le faire à la condition que vous multipliez aussi par racine de \(3 + x\) en haut. Si vous multipliez en haut et en bas par la même chose, vous ne modifiez rien à ce titre là. Vous pouvez donc dire que cette limite c'est exactement la même que la limite quand \(x\) tend vers \(3\) de \(3 - x\) fois \(x\) racine de \(3 + x\), en plus même si ça ressemble à une fois, c'est un plus / racine de \(3 - x\) fois \(3 + x\). Ça vous dit rien à moins que vous ne reconnaissiez une identité remarquable. Quand j'ai \(a - b\) fois \(a + b\), ça fait \(a^2 - b^2\), et c'est tout simplement \(a^2 - b^2\). Oui, il ne faut pas oublier ces petites identités. Donc, ça nous fait racine de \(3^2 - x^2\), soit \(3 - x\), et là regardez la joie, le plaisir des mathématiques, il est là. On a \(3 - x\) en haut et \(3 - x\) en bas, donc ça me fait la limite quand \(x\) tend vers \(3\) de racine de \(3 + x\) sur racine de \(3 + x\), soit \(1\). Quand \(x\) tend vers \(3\), ça me fait donc deux racines de \(3\) et l'affaire est dans le sac. On vous a mis des petits exercices en dessous pour que vous ayez du plaisir à lever des indéterminations en utilisant la technique du conjugué. Si ça tombe au contrôle, c'est deux points assurés. Avouez, vous êtes des champions !