7. Calculer la valeur moyenne d'une fonction

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir et comprendre comment calculer très rapidement la valeur moyenne d'une fonction entre deux nombres. On se fait ça tout de suite.

Comprendre la valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne d'une fonction, c'est dire qu'aurait été notre fonction si ça avait été une constante pour que l'intégrale soit la même. Autrement dit, quand vous avez une fonction \(f\) entre deux points \(A\) et \(B\), vous allez calculer l'intégrale sous la fonction entre \(A\) et \(B\). Donc vous allez calculer cette aire là et vous allez vous demander quelle aurait dû être la hauteur de cette barre là pour que finalement j'ai la même aire en bleu que l'aire en rouge. Je répète, la valeur moyenne de la fonction c'est la valeur telle que l'aire sous la courbe en rouge est la même que l'aire sous la courbe en bleu. Autrement dit, l'aire sous la courbe en bleu étant l'intégrale entre \(A\) et \(B\) de \(f(x) \, dx\), nous on veut que cette aire là soit égale à l'aire en rouge. L'aire en rouge c'est à dire l'aire d'un rectangle donc cette distance là \(b - a\), \(b - a\) multiplié par ce qu'on recherche là. Et ben du coup, ce qu'on recherche c'est l'intégrale entre \(A\) et \(B\) de \(f(x) \, dx\) divisé par \(b - a\). Et ça, c'est une formule qui s'affiche là et que vous pouvez apprendre par cœur pour calculer la valeur moyenne de la courbe entre \(A\) et \(B\). Je calcule l'intégrale de la fonction entre \(A\) et \(B\), je divise par \(b - a\), toujours la fin moins le début.

Exemple pratique

En pratique, dans cet exercice là, l'intégrale de la fonction qu'on va calculer, ça va être l'intégrale donc la valeur moyenne, ça se note \(\bar{f}\), donc ça va être l'intégrale de \(f\) entre 0 et 3 de \(f(x) \, dx\) divisé par \(3 - 0\). Donc ça va être l'intégrale entre 0 et 3 de \(2x^2 + 2x + 1 / 3\). Ça, ça va être une primitive de \(x^2\) plus \(x + 1\), c'est-à-dire \(x^3 / 3 + x^2 + x\) entre 0 et 3 / 3. Et ça, ça va être cette fonction là appliquée en trois moins cette fonction-là appliquée en 0 / 3. Donc \(3^3 = 27 / 3\), donc 9 + 9 + 3 / 3. \(9 + 9 + 3\) ça va me faire \(18 + 3 = 21 / 3\), ça me fera tout simplement 7. On vous a mis des exercices en sous, c'est tout bête mais vous allez voir comment on peut les retrouver dans des problèmes. À vous de jouer, vous êtes des champions.