4. Équation changement de variable avec ln et exponentielle

Introduction

Allez, les amis, on est parti pour une petite compétence plaisir sur les logarithmes naturels (ln), un truc vraiment classique. Par exemple, comment résoudre une équation polynôme du second degré avec ln en faisant un changement de variable ? On se fait ça tout de suite.

Changement de variable

Pour résoudre une équation de ce type, soit l'énoncé va vous le guider, soit il faut que vous le deviniez, mais la solution c'est de dire : "Bon, je vais poser tranquillement \(X = \ln(x)\)". De la même manière qu'en première vous aviez posé \(X = \cos(x)\) ou \(X = e^x\), ici vous allez poser \(X = \ln(x)\). Et on va voir ce que devient l'équation. Mon -6 ne va pas bouger, j'ai toujours un -6. Mon \(m \ln(x)\) va du coup devenir \(mX\) et mon \(\ln(x)^2\), vu que \(\ln(x)\) c'est \(X\), ça va me faire \(X^2\). Et là, je suis extrêmement content, pourquoi ? Parce que je retrouve un petit polynôme du second degré que j'ai envie de résoudre en 3 secondes. Mais je vous aime et je sais que pour certains c'est un peu la galère, du coup on va le faire ensemble.

Résolution du polynôme

Pour résoudre un polynôme du second degré qui vaut 0, je calcule mon Delta, ensuite je fais mes deux racines et mes deux racines, ce sont les solutions de cette équation. Comme quoi, la vie parfois c'est beaucoup plus simple qu'il n'y paraît. \(X^2 - X - 6\), Delta vaut \(b^2 - 4ac\), donc ce qu'il y a devant le \(X\) carré, -1 au carré donc 1, - 4 fois \(a\) fois \(c\), c'est-à-dire 1 fois -6, et ça me fait tout simplement 25. Et quand ça fait 25, on est très content parce que 25 c'est un carré parfait, donc nos racines elles vont être jolies. On parle des racines, les voici, les voilà : \(X_1\) donc \(1 - \sqrt{Delta} / 2a\) donc divisé par 2, \(1 - 5 = -4 / 2\), ça me fait -2 et \(X_2\) qui vaut de la même manière \(1 + \sqrt{Delta} / 2a\) soit au total de 3. Je sais donc que les solutions de ce système c'est -2 et 3.

Retour à la variable initiale

Et on pourrait s'arrêter là, mais on ne s'arrête surtout pas là, pourquoi ? Parce que n'oubliez pas que vous avez fait un changement de variable et qu'en fait c'est pas du tout \(x\) que vous avez trouvé, c'est \(X\). Et \(X\), du coup, de la même manière qu'on a fait le changement de variable, on va le défaire. Donc, on va au lieu de remplacer \(X\) par \(\ln(x)\), on va remplacer \(X\) par \(\ln(x)\). Donc, je me retrouve avec \(\ln(x_1) = -2\) et \(\ln(x_2) = 3\). En effet, \(X_1\) c'était \(\ln(x_1)\) donc j'ai \(\ln(x_1) = -2\) et \(\ln(x_2) = 3\). Et pour me débarrasser du ln qui m'embête, parce que moi je veux juste \(x_1\) et \(x_2\), ce que je vais faire c'est composer par exponentiel des deux côtés. Hop, exponentiel, hop, exponentiel. Et exponentiel et ln, ils ont la bonne idée de s'annuler. Et je me retrouve donc du coup avec mon \(x_1\) qui vaut \(e^{-2}\) et mon \(x_2\) qui vaut \(e^3\). Tout ça c'est fait de manière extrêmement flexible, dans la joie et la bonne humeur, comme les petits exercices qui vous attendent juste en dessous. À vous de jouer, vous êtes vraiment des champions !