2. Ensemble de définition de la fonction ln

Compétence 1 : Ensembles de définition des fonctions logarithmiques

La première compétence de ce chapitre sur les logarithmes concerne les ensembles de définition. C'est très simple à gérer, nous allons voir cela tout de suite. Pour trouver l'ensemble de définition d'une fonction logarithme, simple ou compliquée, il faut vraiment avoir en tête une chose : l'allure de la courbe. Elle vous donne toutes les réponses dont vous avez besoin. Je vous rappelle qu'on trace \( \ln \), ça ressemble à ça : en 1, ça vaut 0, ici ça va vers moins l'infini, ici ça va vers plus l'infini très doucement. Le domaine de définition, l'ensemble de définition d'une fonction, c'est les nombres qu'on a le droit de mettre dans la fonction et qui vont nous donner une image. Autrement dit, par exemple, 5 a une image, c'est elle. Donc, c'est pas exactement combien ça fait, 1 a une image, c'est faux. Est-ce que -3 a une image ? Ben -3, regardez, vous avez beau monter et descendre autant que vous voulez, vous ne toucherez pas la courbe. Donc les nombres négatifs, ils n'ont pas d'image, ils sont exclus du domaine de définition. 0 est aussi exclu du domaine de définition. C'est quand vous êtes sur zéro et vous cherchez à toucher à la courbe, vous pouvez monter et descendre aussi loin que vous voulez, vous ne trouverez pas la fonction. Donc en fait, les nombres que vous avez le droit de mettre dans \( \ln(x) \), son domaine de définition, ce qu'on appelle DF, c'est tout simplement l'ensemble des nombres qui commencent à 0, on n'en veut pas du zéro donc on l'exclut, et qui va jusqu'à plus l'infini parce que tout le reste des nombres positifs, il n'y a aucun problème.

Compétence 2 : Domaine de définition d'une fonction logarithmique complexe

Qu'en est-il dans le cas d'une fonction avec \( \ln \) qui est un peu plus compliquée ? Dans ce cas-là, il va falloir réfléchir. Il va falloir dire : "Bon, ben là, cette fonction \( x^2 + x - 6 \), c'est une fonction qui, quand je vais mettre un nombre dedans, par exemple 3, ça me fera \( 3^2 + 3 - 6 \) et \( 9 + 3 = 12 - 6 = 6 \), va me donner 6 et ensuite ceci je vais le mettre dans \( \ln \)". Dans le cas de 3, c'est cool parce que ça me donne 6. Si je prends par exemple \( 1^2 + 1 - 6 \), ça me donne -4. Vous voyez que dans le cas de 1, ça me donne -4, donc un, je n'ai pas le droit de le mettre dans cette fonction parce que ça me donne une valeur du polynôme qui est négative. Or \( \ln \), on l'a vu ici, il n'accepte que les nombres strictement positifs. Donc il va d'abord falloir que j'étudie le signe de ce polynôme pour savoir lesquels des valeurs de x je vais pouvoir mettre dans mon prénom et qui vont me donner des valeurs positives.

Compétence 3 : Étude du signe d'un polynôme

Donc ce qu'on va faire, c'est qu'on va faire le tableau de signe de ce polynôme là, \( x^2 + x - 6 \). Pour calculer la racine, je commence avec mon Delta qui vaut \( B^2 \) donc le nombre qui est devant \( x^2 \), \( 1^2 - 4 \times 1 \times 6 \), donc ça me fait \( 1 + 24 = 25 \). Je vous rappelle que quand votre déterminant est un carré parfait, en l'occurrence \( 5^2 \), c'est plutôt bon signe, ça veut dire que vos racines ont une chance d'avoir une bonne tête. La première racine c'est \( -B - \sqrt{\Delta} \) sur \( 2A \), donc sur deux, donc ça me fait \( -1 - 5 \) sur 2, \( -6 \) sur 2, \( -3 \). Ma deuxième racine c'est la même chose sauf que c'est pas moins mais c'est plus \( \sqrt{\Delta} \) sur deux et ça me fait \( -1 + 5 = 4 \) sur 2, 2. Donc mes deux racines c'est -3 et 2. Ça va de moins l'infini à plus l'infini. Je sais que mon polynôme s'annule pour ces racines et ensuite pour connaître le signe, j'ai juste à dire que le polynôme est du signe de \( A \), c'est-à-dire ce qu'il y a devant \( x^2 \), à l'extérieur des racines. Donc ici, donc positif ici et ici, et donc négatif là. Et maintenant que je connais le polynôme, je sais que ce polynôme là, quand \( X \) est entre - l'infini et -3, il est positif. Donc quand \( X \) se balade entre - l'infini et -3, tout ça c'est positif, donc c'est bon. Quand \( X \) est entre -3 et 2, tout ça c'est négatif et je n'en veux pas. Je vous rappelle que dans \( \ln \), on a le droit de mettre que des nombres positifs. Donc ce qui va être négatif, c'est cette intervalle là, je n'en veux pas. Par contre, entre 2 et plus l'infini, c'est bon. Donc mon domaine de définition, donc DG ce coup-ci parce que c'est le domaine de définition de G, ça va être de moins l'infini jusqu'à -3 exclu parce que je n'en veux pas, union de 2 exclu à plus l'infini, toujours exclu. Et vous avez votre domaine de définition. Donc quand vous voulez connaître le domaine de définition d'une fonction \( \ln \) avec une fonction à l'intérieur, vous étudiez le signe de cette fonction et vous gardez les valeurs de \( X \) qui vous donnent une fonction strictement positive. Maintenant, c'est à vous de jouer. On vous a mis des exercices en dessous, vous êtes des champions.