12. Logarithme et suites géométriques

Introduction

Allez, les amis, on est parti pour voir un truc qui est assez intéressant : comment est-ce qu'on peut utiliser la fonction logarithme que vous venez de découvrir pour travailler avec des suites. Sachant que ça, c'est vraiment le genre d'exercice qui peut tomber au contrôle. Donc, on a une suite qui est définie comme \(u_{n+1} = 1,05 \cdot u_n\) et un premier terme à \(u_0\). Donc \(u_{n+1} = 1,05 \cdot u_n\), pour ceux qui ont reconnu, ça correspond à des suites qui sont des suites à croissance à pourcentage. Par exemple, j'ai un nombre d'abonnés qui commence à 1000 et qui croît de 5 % par an, ou alors j'ai un compte bancaire où je mets 1000 balles et il y a 5 % d'intérêt par an, et ainsi de suite. Comment est-ce qu'on peut se demander à partir de quelle valeur de \(n\) on va dépasser 5000 ? Il y a deux techniques : une technique qui est extrêmement "shlag" et une technique qui est beaucoup plus sophistiquée, beaucoup plus élégante et qui fait intervenir \(\ln\).

Technique de la calculatrice

La technique un peu "shlag" consiste à utiliser la calculatrice. Donc, si vous utilisez la calculatrice, vous allez aller dans "suite", donc vous allez descendre jusqu'à "suite". Attention, ça marche avec la neww, ça marche avec n'importe quelle calculatrice. Et vous allez rentrer votre suite ici. Donc, ce que j'ai fait, c'est rien d'autre que dire \(u_{n+1} = 1,05 \cdot u_n\) et je mets mon premier terme. Et ensuite, grâce au tableur, donc en allant dans la partie tableau, vous pouvez voir votre terme. Donc, le premier mois, j'ai 1000, ensuite j'ai 1050, 112.5, et ainsi de suite. Et je vais tout simplement descendre tranquillement jusqu'à voir pour quelle valeur de \(n\) j'atteins 5000. En l'occurrence, ici, pour \(n = 33\), on voit que pour \(n = 33\), j'ai dépassé. Sauf que cette technique, elle n'est pas folle et elle n'est pas très élégante.

Technique du logarithme

Moi, je vais vous montrer comment est-ce qu'on fait ça avec \(\ln\). Donc, avec \(\ln\), ce qu'on va commencer par faire, c'est dire : bon, notre suite là, qui nous est définie comme \(u_{n+1} = 1,05 \cdot u_n\) et \(u_0 = 1000\), on va l'exprimer de manière explicite, c'est-à-dire non pas \(u_{n+1}\) en fonction de \(n\), mais \(u_n\) en fonction de \(n\). Le problème, c'est que cette suite là, elle est assez facile à repérer comme étant une suite géométrique. La raison \(r\) c'est \(1,05\), parce que chaque fois je multiplie le terme suivant par \(1,05\) pour avoir mon terme suivant. Et mon \(u_0\) ici, il est donné par l'énoncé, il vaut 1000. À partir de là, je peux dire directement que \(u_n\) elle vaut, d'après le cours que j'ai appris en première, \(1,05^n \cdot 1000\). Ça, c'est l'expression explicite de \(u_n\), c'est-à-dire \(u_n\) en fonction de \(n\), et c'est à partir de cette expression là qu'on va bosser. Comment est-ce qu'on va faire ça ? Et bien, on va dire finalement, le premier terme pour lequel \(u_n\) devient plus grand que 5000, je vais le trouver en résolvant tout simplement quand est-ce que \(u_n\) est supérieur ou égal à 5000. Oui, mais sauf que \(u_n\), on vient de voir, c'était \(1,05^n \cdot 1000\), donc \(1.05^n \cdot 1000 > 5000\). Et ça, c'est vraiment une toute petite inéquation, vous avez l'habitude de la résoudre. Donc, on va vraiment la traiter comme une petite inéquation. Je veux avoir \(n\) à la fin, c'est ça qui m'intéresse, c'est trouver la valeur de ce \(n\) là. Donc, ce que je vais faire, c'est que je vais commencer par me débarrasser du \(1,05\) et du \(1000\). Donc, je vais tout diviser par \(1000\), hop, je vais tout diviser par \(1000\), hop. Comme ça, ce \(1000\) là et ce \(1000\) là, ils disparaissent. Il me reste \(1,05^n\). Ensuite, de ce côté-là, \(5000/1000\), ça me fait \(5\). Et j'ai juste à me demander : est-ce que je vais garder ce signe ou est-ce que je vais le changer ? Vous avez divisé par un nombre positif, donc a priori, on ne change pas le signe. Donc, je mets supérieur ou égal. Je fais une petite parenthèse pour dire que quand tout ce qu'on a comme justification, c'est de se demander est-ce que on multiplie ou qu'on divise, c'est qu'on a pas vraiment appris la vraie manière de savoir le changement des signes. Mais ça, on y reviendra après. Maintenant, problème : je voudrais me débarrasser du \(1,05^n\), mais je n'ai pas du tout \(1,05 \cdot n\). Si j'avais \(1,05 \cdot n\), ce n'est pas compliqué, je diviserais par \(1,05\) et mon problème serait réglé. Mais moi, je n'ai pas ça, j'ai \(1,05^n\), autrement dit, l'inconnue, elle est en puissance. Là intervient \(\ln\). Le seul moyen que vous avez de vous débarrasser du \(1,05\), c'est de composer des deux côtés par \(\ln\). Donc, \(\ln\) à gauche, \(\ln\) à droite. Est-ce que je change le signe ? Ça, c'est une bonne question. Là, je me retrouve avec \(\ln(1,05^n)\) et là, je me retrouve avec \(\ln(5)\). Vient-il du supérieur ou égal ? C'est là que je vous dis que si vous vous contentez de dire "quand je multiplie ou que je divise par un nombre négatif, je change le signe", vous n'allez pas vous en sortir. Là, ce qu'on a fait, c'est qu'on n'a pas multiplié par \(\ln\), on a composé par \(\ln\). Et regardez votre fonction \(\ln\), comment elle est : la fonction \(\ln\) est strictement croissante. Autrement dit, si je prends deux nombres, genre \(1,05^n\) et \(5\), donc \(1,05^n\) et \(5\), tels qu'ils soient classés dans un certain ordre, si je vais chercher les images ici par la fonction \(\ln\), donc si je fais, si je les rentre dans la fonction \(\ln\) comme je l'ai fait au-dessus, c'est-à-dire que j'ai pris \(1,05^n\), je l'ai rentré à l'intérieur de \(\ln\), et j'ai pris \(5\), je l'ai rentré à l'intérieur de \(\ln\), on voit que l'ordre est conservé. C'est-à-dire que \(1,05^n\) était plus petit que \(5\), et \(\ln(1,05^n)\) ici sera plus petit que \(\ln(5)\) au-dessus. Pourquoi ? Parce que la fonction est croissante. Donc, ici, vu que j'ai composé à gauche et à droite par une fonction croissante (ce qui n'aurait pas été le cas, par exemple, si j'avais composé avec une fonction inverse), je vais garder le signe là. Et la justification, elle est importante : car la fonction \(\ln\) est croissante. Pourquoi est-ce que j'ai fait ça ? Parce que je vous rappelle, et vous l'avez dans l'affiche, quand on a \(\ln(A^B)\), on a le droit de dire que c'est \(B \cdot \ln(A)\). Du coup, le corollaire, c'est que ici, quand j'ai \(\ln(1,05^n)\), j'ai le droit de dire que c'est \(n \cdot \ln(1,05) > \ln(5)\). Et regardez comme c'est beau : on avait un \(n\) en puissance, et maintenant on a \(n\) en produit. Autrement dit, ici, si je veux me débarrasser du \(\ln\), j'ai juste à prendre les deux côtés de l'inégalité et à diviser par \(\ln(1,05)\). Je le fais ici et je le fais ici. Comme ça, tac, tac, ça simplifie, et je me retrouve à gauche avec \(n\), et à droite avec \(\ln(5) / \ln(1,05)\). Question : je change ou je ne change pas le signe ? J'ai divisé par un nombre. Est-ce que ce nombre est positif ou est-il négatif ? Vous connaissez votre fonction \(\ln\), vous savez que votre fonction \(\ln\) a grosso modo cette figure là, que en \(1\), elle vaut \(0\). Du coup, quand je divise par \(\ln(1,05)\), je divise par \(\ln\) d'un nombre qui est ici, là, j'ai \(1.05\), du coup, son image, elle va être positive. Donc, là, ce que j'ai fait, c'est que j'ai divisé par un truc positif. Vu que j'ai divisé par un truc positif, je ne change pas le signe. Et maintenant, je sais que pour avoir \(u_n\) plus petit que \(5000\), il faut juste que j'aie \(n\) qui soit plus petit que \(\ln(5) / \ln(1,05)\). Du coup, je reprends ma calculatrice, et je vais taper \(\ln(5) / \ln(1.05)\), et en appuyant sur ENTER, j'ai \(32,8\). Donc, je sais que c'est à partir du nombre après (vu que ce n'est pas un nombre entier, donc \(33\)) que j'ai ma suite qui est plus grande que \(5000\). Et c'est plié. Allez, vous entraîner, on vous a mis plein d'exercices sur galilé.ac. À vous de jouer, vous êtes des champions.