10. Tableau de variations avec ln

Introduction

Allez les amis, on est parti pour un petit exercice qui va vous permettre d'étudier les variations d'une fonction composée avec Hélène. Vous allez voir, c'est exactement aussi simple que toutes les fonctions qu'on a fait avant. On se fait ça tout de suite. Je vous rappelle les trois grandes étapes pour étudier les variations d'une fonction : je dérive, j'étudie le signe de la dérivée. Quand la dérivée est positive, c'est à dire que la fonction croît. Quand la dérivée est négative, la fonction décroît. Et c'est tout.

Première étape : la dérivation

Première étape, je dérive donc \(f(x) = \ln(x^2 + x + 1)\). La dérivée de \(\ln\), vu que j'ai une forme \(\ln(u(x))\) avec \(u(x) = x^2 + x + 1\) qui serait mon \(u(x)\), ma dérivée ça va être \(u'(x) / u(x)\). Donc \(f'(x)\) ça va être la dérivée de \(x^2 + x + 1\), c'est à dire \(2x + 1 / (x^2 + x + 1)\). Si vous avez des doutes sur comment on fait pour dériver ça, allez voir la vidéo qui s'affiche là haut et qui vous donne toutes les explications.

Deuxième étape : étude du signe de la dérivée

Deuxième étape, je vais étudier le signe de la dérivée. Et alors là, je vous arrête tout de suite, la beauté de la fonction \(\ln\) c'est que, rappelez-vous, le domaine de définition de \(\ln\) vous fait vous assurer que ce qui est à l'intérieur soit toujours positif. Autrement dit, sur le domaine de définition, si on vous demande d'étudier la fonction sur un domaine de définition et qu'on vous donne le domaine de définition, le bas, le \(u(x)\), sera toujours positif. Donc le signe de la dérivée, le signe qui vous intéresse, il sera donné uniquement par le haut. Du coup, si vous connaissez le domaine de définition, c'est à dire si vous connaissez les valeurs que va prendre \(x\), c'est-à-dire je vais étudier entre ici et ici, vous n'avez presque pas besoin de vous occuper du bas, il vous suffit de vous occuper du haut. Sauf que le problème, c'est dans cet exercice là, on n'a pas dit dans l'énoncé quel est le domaine de définition. Donc en fait, la première chose à faire, c'est de regarder le domaine de définition. Le domaine de définition, c'est les valeurs de \(x\) qui nous permettent d'avoir ce bout là, le bout en rouge, qui est strictement positif. Parce que encore une fois, la fonction \(\ln\) elle est définie que pour des valeurs positives. Donc ce que j'ai à l'intérieur doit être positif. Or ce que j'ai à l'intérieur, c'est un polynôme du second degré. Pour savoir le signe d'un polynôme du second degré, il faut que j'étudie son signe en faisant le delta et les racines. Mon Delta ici, il vaut \(B^2 - 4AC\), donc \(1^2 - 4*1*1 = -3\). Donc je sais qu'il n'y a pas de racine. Autrement dit, mon polynôme il va ressembler soit à ça, soit à ça, c'est-à-dire qu'il ne va jamais s'annuler. Je sais que \(A\) est positif, donc il va ressembler à ça. Donc il est strictement positif. Donc quel que soit la valeur de \(x\) que je mets là-dedans, ce polynôme est strictement positif. Autrement dit, je peux mettre dans ce polynôme toutes les valeurs de \(x\) que je veux, et toutes les valeurs de \(x\), l'ensemble qui contient toutes les valeurs, c'est \(\mathbb{R}\). Donc cette fonction, son domaine de définition, c'est \(\mathbb{R}\). Toutes les valeurs, il n'y en a aucune qui donnera une valeur négative. Donc je peux étudier de \(-\infty\) jusqu'à \(+\infty\). Je sais que sur \(\mathbb{R}\), \(x^2 + x + 1\) est strictement positif. Pourquoi ? Parce que c'est la condition pour que cette fonction existe. Donc quand je vais étudier \(f'(x)\) en faisant une ligne avec le numérateur, une ligne avec le dénominateur et une ligne avec \(f'(x)\), mon dénominateur, c'est à dire \(x^2 + x + 1\), je sais qu'il sera tout le temps positif et j'ai plus qu'à étudier le haut, c'est à dire \(2x + 1\). \(2x + 1\) c'est une fonction affine. Pour étudier une fonction affine, je me demande quand est-ce qu'elle s'annule. Donc \(2x + 1\), quand est-ce qu'il s'annule ? Quand \(2x + 1 = 0\), c'est à dire quand \(x = -1/2\). Donc là, je sais que je vais avoir \(-1/2\) qui annule \(2x + 1\). Ensuite, \(2x + 1\) c'est une fonction affine croissante parce que le coefficient directeur est positif. Autrement dit, ma fonction \(2x + 1\) elle est croissante. Donc avant de valoir 0, elle est négative et après valoir 0, elle est positive. Super, j'ai étudié le signe de \(2x + 1\). Vu que moi ce qui m'intéresse c'est \(2x + 1 / (x^2 + x + 1)\), je vais faire la règle des signes entre cette ligne là et cette ligne là. Donc \(f'(x)\), il vaudra 0 ici parce que quand je divise 0 par quelque chose de positif, ça me fait 0. Quand je divise un truc négatif par un truc positif, ça me fait un truc négatif. Et quand je divise un truc positif par un truc positif, ça me fait un truc positif. Du coup, \(f'(x)\) est décroissant puis croissant et du coup \(f(x)\) est décroissant puis croissant. J'ai dit décroissant plus croissant avant là, mais je voulais dire négatif positif, décroissant croissant, vous aviez compris.

Troisième étape : calcul des limites et de la valeur

Est-ce qu'on s'arrête là ? En terminale, on ne s'arrête pas là. Il nous faut la limite ici, la limite ici et la valeur ici. Donc ici, cette valeur, vous pouvez soit la calculer, soit dire je l'écris. Donc je fais \(f(-1/2)\). Sinon, vous le calculez. \(-1/2\) au carré, ça fait \(1/4\). Plus \(-1/2\), plus \(1\), ça fait \(3/4\). Plus \(1\), ça fait \(7/4\). \(\ln(7/4)\), est-ce que c'est vraiment intéressant ? Je ne sais pas, là pour le coup, c'est super parce que vraiment on ne voit rien. En tout cas, on le met pour être sûr que le prof soit content. Et on met les deux limites, donc la limite en \(-\infty\) et en \(+\infty\). Et les limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\), ça me fait \(\ln(+\infty) = +\infty\) et \(\ln(+\infty) = +\infty\). Si vous ne savez pas comment j'ai fait ce calcul là de limite, allez voir la compétence qu'on a fait juste en dessous et qui s'affiche là, qui vous montre comment calculer des limites avec \(\ln\). En attendant, on vous a mis des exercices en dessous avec des tableaux de variation à faire. Entraînez-vous, ça, ça tombe vraiment au contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions.