8. Lever une forme indéterminée avec racine carrée

Introduction

Allez les amis, on est parti pour un exercice bien particulier qui est une limite de suite quand vous avez une racine avec du \(n\) à l'intérieur, pas juste racine de \(n\), par exemple \(\sqrt{2n} + 5\). On va s'en sortir en utilisant le conjugué. Si vous ne savez pas ce que c'est, c'est normal, on voit ça tout de suite.

Problème

Prenons \(\sqrt{n^2} + 5\). Si vous cherchez la limite en \(+\infty\) au brouillon, ce que je vous conseille, vous allez avoir \(n\) qui tend vers \(+\infty\) et \(\sqrt{n^2} + 5\) qui tend vers \(+\infty\). Donc, \(\sqrt{n^2} + 5\) tend vers \(+\infty\) et vous vous rendez compte qu'on tombe sur une des quatre formes indéterminées qui est \(+\infty - \infty\). Comment va-t-on lever ça ? Chaque fois que vous avez une différence ou une somme avec \(\sqrt{n^2} + \text{quelque chose}\), la technique qui marche c'est de dire : je vais chercher cette limite mais avec le conjugué, c'est-à-dire la même chose avec un plus au milieu. Donc, non pas \(- \sqrt{n^2} + 5\) mais \(+ \sqrt{n^2} + 5\). Et vu que je n'ai pas le droit de la modifier comme ça, on va aussitôt diviser par \(n + \sqrt{n^2} + 5\). Pourquoi je fais ça ? Parce que j'ai multiplié par \(\frac{\sqrt{n^2} + 5}{\sqrt{n^2} + 5}\), j'ai pas touché à ce truc là. Sauf que vous allez voir que cette forme là, une fois qu'on l'aura simplifiée, elle est beaucoup plus simple à traiter parce qu'elle va lever la forme indéterminée.

Solution

Donc on prend \(- \sqrt{n^2} + 5\) fois \(n + \sqrt{n^2} + 5\). Ça vous dit rien ça ? Est-ce qu'on serait pas par hasard sur un truc de la forme \(a - b\) fois \(a + b\) ? Oui, on est là-dessus. Et si vous avez bien bossé vos identités remarquables, vous savez que quand j'ai \(a - b\) fois \(a + b\), c'est exactement la même chose que d'avoir \(a^2 - b^2\). Donc, \(- \sqrt{n^2} + 5\) fois \(n + \sqrt{n^2} + 5\) c'est la même chose que \(n^2 - (\sqrt{n^2} + 5)^2\) le tout divisé par \(n + \sqrt{n^2} + 5\). Sauf que là, \(\sqrt{n^2} + 5\) c'est positif, du coup quand je le mets au carré, le carré et la racine vont se simplifier. Je vous rappelle que \(\sqrt{a^2}\) ça fait \(a\), à ne pas confondre avec \(\sqrt{a}^2\) qui fait \(a\). Donc je me retrouve avec \(n^2 - n^2 + 5\) divisé par \(n + \sqrt{n^2} + 5\) et quand je simplifie ça me fait \(0 - n^2 + 5\) sur \(n + \sqrt{n^2} + 5\). Pourquoi est-ce que c'est cool ? Parce que vous voyez qu'il y a des choses qui se simplifient, le \(n^2\) et le \(n^2\), ils partent. Maintenant, plutôt que de chercher la limite de \(- \sqrt{n^2} + 5\), on va chercher la limite de \(-5\) sur \(n + \sqrt{n^2} + 5\). Et là, au brouillon, je me rends compte que le haut tend vers \(-5\) et le bas tend vers \(+\infty\). Donc on tombe avec \(-5\) sur \(+\infty\), ce n'est pas une forme indéterminée, donc le résultat existe. Combien de fois est-ce que je peux rentrer \(+\infty\) dans \(-5\) ? Je peux rentrer une infinité de fois dans une boîte qui en contient 5, 0 fois. Je ne rentrerai jamais une infinité de fois dans une boîte qui en contient que 5. Du coup, je peux conclure en disant que la limite de \(n\) c'est \(+\infty\), que la limite de \(\sqrt{n^2} + 5\) c'est aussi \(+\infty\) et je mets ces petits crochets que j'aime tant. Et que vous commencez à maîtriser maintenant, parce qu'il y a un plus au milieu, donc la somme, la limite de \(n + \sqrt{n^2} + 5\) c'est \(+\infty\). Et je rappelle que la limite de \(-5\) c'est \(-5\). Et une dernière accolade où j'écris que du coup, par quotient, la limite de \(-5\) sur \(+\infty\) ça fait \(0\). Je n'ai pas écrit parce que je n'ai plus de place sur le tableau, mais vous voyez très bien où je veux en venir. On vous a vu des exercices, ça tombe au contrôle, entraînez-vous, c'est parti.