7. Lever une forme indéterminée avec les polynômes

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir en 3 minutes comment enlever des formes indéterminées en factorisant. On y va. La factorisation est une arme redoutable pour lever les formes indéterminées, notamment et en fait uniquement, quand vous avez des polynômes tout seul ou des quotients de polynômes.

Méthodologie

La méthodologie est la suivante : j'essaie de calculer les limites de ma suite, je fais un petit calcul au brouillon, je me rends compte que j'ai une forme indéterminée, je factorise par le plus haut degré et mon problème est résolu. Alors comment factoriser par le plus haut degré ? C'est le terme le plus influent du groupe. Donc là, vous voyez que \(n^2\) tend vers plus l'infini, ça va tendre vers moins l'infini, ça va tendre vers l'infini. Ce qui nous pose un problème, c'est qu'on a plus infinie moins l'infini. On va demander qu'est-ce qui va gagner entre \(n^2\) et \(n\). Évidemment, vu que là j'ai un carré, on vous dit que si on va vers l'infini, \(n^2\) va gagner.

Factorisation

Donc pour mettre ça en évidence, on va factoriser par \(n^2\). Donc on va dire que \(n^2\) est facteur de quelque chose. Sauf que là, vous voyez qu'on a un problème. Le problème, c'est que j'ai dû multiplier par \(n^2\), j'en ai pas là et j'en ai pas là. Regardez ce que je vais faire, parce que c'est comme ça que vous allez être sûr de ne pas vous tromper. Moi, je veux faire apparaître mon \(n^2\) en multipliant ici. Pareil, j'ai bien \(2n^2\), donc ça fait \(2n^2\). Sauf que j'ai pas le droit de multiplier par \(n^2\) comme ça. Qu'est-ce que je vais faire ? Je vais diviser par \(n^2\). Comme ça, le fait que j'ai multiplié par \(n^2\) sera annulé par le fait que j'ai divisé par \(n^2\). Du coup, j'aurais pas modifié mon -2. Pareil ici, une fois \(n^2\), et comme ça je les moins de \(n^2\). J'ai rien au carré, donc je veux factoriser, sauf que j'ai pas le droit de multiplier par \(n^2\). Maintenant, moins \(n^2\) était multiplié par 1 ici, là il est multiplié par deux sur \(n\), et là il est multiplié par 1 sur \(n^2\). Du coup, quand ce facteur est sorti, ça fait \(n^2\) facteur de \(1 - 2/n + 1/n^2\). Donc en fait, je cherche la limite quand \(n\) tend vers l'infini de ça. Sauf que regardez maintenant, comme c'est beau. \(n^2\) tend vers \(0\), \(2/n\) tend vers \(0\), \(1/n^2\) ça tend vers \(1\). Donc tout ça, ça tend vers \(1\). \(n^2\) tend vers plus l'infini, plus l'infini fois \(1\), ça fait plus l'infini. Vous venez de lever l'indétermination.

Conclusion

On reprend cette fameuse rédaction dont je vous parle depuis le début et qui est non seulement la plus élégante, mais celle qui est vous qui vous permet d'être sûr de ne pas vous tromper. Donc vous commencez par régler ce bloc là. Donc vous allez dire que la limite de \(1\) c'est \(1\), la limite de \(-2/n\) c'est \(0\), et la limite de \(1/n^2\) c'est \(0\). Ce bloc là, il est réglé. Ensuite, vous faites cette limite, la limite de \(n^2\) c'est plus l'infini, et vous ouvrez une deuxième parenthèse et vous dites par ce bloc là et ce bloc là, ils sont multipliés entre eux. Donc la limite de \(n^2\) fois \(1 - 2/n + 1/n^2\) ça vaut plus l'infini fois \(1\), et là vous êtes absolument inattaquable. Alors ça, c'est cette technique de levage d'indétermination, c'est la plus classique, c'est à dire que c'est quasiment sûr que c'est les premiers exercices du contrôle sur lequel vous allez tomber. On factorise par le plus haut degré en faisant apparaître le facteur de plus haut degré grâce à cette fameuse technique là que je vous conseille d'essayer. On vous a mis des exercices en dessous pour vous entraîner. C'est vraiment le b.a.-ba, ce qui va tomber dans vos contrôles. Allez, c'est parti.