3. Démontrer qu'une suite tend vers L avec ε

Introduction

Allons-y, les amis, nous allons utiliser epsilon pour démontrer qu'une suite tend vers un point précis. Nous allons examiner une suite \(1 / n^2 + 1\). Nous commencerons par une première question qui est en quelque sorte une application numérique. Ensuite, nous passerons à une deuxième question où nous travaillerons avec un nombre inconnu. Enfin, nous conclurons avec une troisième question.

Examen de la suite

Regardons ces deux suites : \(1 / n^2 + 1\) et \(1 / n\). Je sais que cette partie, \(1 / n^2\), tend vers zéro. Si je prends quelque chose qui tend vers zéro et que je l'ajoute à un, j'ai une suite qui va tendre vers un. Donc, globalement, je ne sais pas exactement comment la suite se comporte, mais elle va tendre vers un à l'infini.

Première question

Pour quelle valeur de \(n\) a-t-on \(|n - 1| < 10^{-4}\) ? Pour comprendre ce qu'on attend de vous, il faut comprendre ce que signifie \(|n - 1| < 10^{-4}\). La valeur absolue de \(n - 1\) est la distance entre la suite et le nombre 1. Ce qu'on vous demande de montrer, c'est qu'il existe une valeur \(m\) pour laquelle, à partir de cette valeur \(m\), la distance sera plus petite que \(10^{-4}\).

Deuxième question

Cette fois, ce n'est plus \(10^{-4}\), c'est un epsilon positif quelconque. Donc, on recommence avec \(|n - 1| < \epsilon\). Cela donne directement \(|1 / n^2| < \epsilon\). En inversant, cela donne \(n^2 > 1 / \epsilon\), ce qui signifie que \(n > \sqrt{1 / \epsilon}\).

Conclusion

Pour tout epsilon réel, il existe un rang \(n_0\) tel que dès que \(n\) est plus grand que \(n_0\), \(|n - 1| < \epsilon\). Donc, la limite de \(n\) est 1. C'est un exercice typique que vous pourriez rencontrer lors d'un contrôle. Votre professeur pourrait vous embêter quand vous trouvez le \(n_0\) en utilisant la racine carrée, car ce n'est pas toujours un nombre entier. Par exemple, si vous aviez \(1000\sqrt{2000}\), ce n'est pas un nombre entier. Donc, ce que vous pouvez faire si le professeur est tatillon, c'est de prendre \(n_0\) comme étant le plafond de \(\sqrt{1 / \epsilon}\).