📖 Fiche résumée

Comprendre les Équations Différentielles en Terminale Spécialité Maths

Le chapitre sur les équations différentielles est une pierre angulaire du programme de mathématiques en classe de Terminale, spécialité mathématiques. Il introduit une nouvelle manière de penser les équations : au lieu de chercher un nombre inconnu, nous cherchons une fonction inconnue. Une équation différentielle est une relation qui lie une fonction à ses dérivées successives. Dans cette fiche de cours, nous nous concentrons sur les équations différentielles linéaires du premier ordre, un sujet fascinant qui trouve des applications concrètes en physique, en biologie, en économie et dans bien d'autres domaines scientifiques. Ce guide détaillé a pour but de décortiquer les concepts, méthodes et formules présentés dans notre fiche de révision, afin de vous offrir une compréhension solide et approfondie.

Qu'est-ce qu'une Équation Différentielle ? Définition Fondamentale

Pour commencer, il est crucial de bien saisir la nature de l'objet mathématique que nous étudions. Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue, que l'on note souvent y ou f, est une fonction d'une variable, disons x. L'équation établit un lien entre cette fonction y(x) et sa ou ses dérivées, comme y'(x), y''(x), etc. En Terminale, l'étude se limite aux équations du premier ordre, c'est-à-dire celles qui ne font intervenir que la dérivée première y'.

Résoudre une équation différentielle, c'est trouver l'ensemble de toutes les fonctions qui vérifient cette relation pour tout x dans un intervalle donné. On ne cherche donc pas une valeur unique, mais une famille de fonctions, généralement caractérisée par une constante d'intégration.

L'Équation Différentielle Homogène : Le Cas de Base y' = ay

La première forme d'équation différentielle, et la plus fondamentale, est l'équation dite "homogène" :

(E₀) : y' = ay

Ici, a est un nombre réel non nul. Cette équation exprime une propriété essentielle : la vitesse de variation de la fonction y (sa dérivée y') est à tout instant proportionnelle à sa propre valeur y(x). Ce type de comportement est omniprésent dans la nature, décrivant par exemple la croissance d'une population sans prédateurs ou la désintégration radioactive d'un élément.

Théorème des solutions de l'équation homogène :

Le cours établit un résultat central : l'ensemble des fonctions solutions de l'équation différentielle y' = ay sur l'ensemble des réels ℝ est constitué des fonctions de la forme :

f(x) = C * e^(ax)

où C est une constante réelle quelconque (C ∈ ℝ). Chaque valeur de C définit une solution particulière de l'équation. L'ensemble de ces fonctions pour toutes les valeurs possibles de C est appelé la solution générale.

• Si a > 0, les fonctions solutions sont des exponentielles croissantes.
• Si a < 0, les fonctions solutions sont des exponentielles décroissantes.
• La constante C représente la valeur de la fonction à x = 0, car f(0) = C * e^(a*0) = C * 1 = C.

Cette formule est un pilier de ce chapitre. Il est impératif de la mémoriser et de comprendre son origine, qui repose sur les propriétés uniques de la fonction exponentielle, la seule fonction (à une constante près) qui est égale à sa propre dérivée.

L'Équation Différentielle avec Second Membre Constant : y' = ay + b

La complexité augmente légèrement avec l'introduction d'un terme constant b (avec a ≠ 0 et b ≠ 0). L'équation s'écrit :

(E) : y' = ay + b

Cette forme modélise des phénomènes où la variation est proportionnelle à la quantité présente, mais avec un ajout ou un retrait constant. Pensez à la température d'un objet qui se refroidit dans une pièce (loi de Newton) ou à un compte bancaire avec des intérêts et des dépôts fixes.

La méthode de résolution repose sur un principe fondamental : la solution générale de cette équation est la somme de deux composantes :

1. La solution générale de l'équation homogène associée y' = ay.
2. Une solution particulière de l'équation complète y' = ay + b.

Recherche de la solution particulière : Pour ce type d'équation, on cherche une solution particulière simple, généralement une fonction constante u(x) = k. Si u(x) = k est solution, alors sa dérivée u'(x) est nulle. En remplaçant dans l'équation (E), on obtient :

0 = a*k + b

Ce qui nous donne directement k = -b/a. La fonction constante u(x) = -b/a est donc une solution particulière de l'équation.

Construction de la solution générale :

En combinant les deux éléments, on obtient la forme générale des solutions de y' = ay + b, comme indiqué dans la fiche récapitulative :

f(x) = C * e^(ax) - b/a

Cette expression montre magnifiquement la structure des solutions : un terme transitoire exponentiel (C * e^(ax)) qui s'annule ou explose à l'infini, et un terme constant (-b/a) qui représente l'état d'équilibre ou la valeur asymptotique du système.

La Résolution du Cas Général : y' = ay + f(x)

Le cas le plus général abordé en Terminale est celui où le second membre n'est plus une constante, mais une fonction de x, que l'on note f(x) ou parfois g(x) pour éviter la confusion. L'équation s'écrit :

(E) : y' = ay + f(x)

La structure de la solution reste la même que dans le cas précédent, un principe de superposition essentiel :

Solution générale = Solution générale de l'équation homogène associée + Une solution particulière de l'équation complète.

La fiche de cours propose une méthode de résolution en trois étapes claires, qui est la démarche standard à suivre dans les exercices :

Étape 1 : Vérifier une Solution Particulière u(x)

Dans la majorité des problèmes de Terminale, on ne vous demandera pas de trouver de toutes pièces une solution particulière u(x). L'énoncé vous la fournira (par exemple, "montrer que la fonction u(x) = x² + 2x est une solution de...") ou vous donnera sa forme (par exemple, "chercher une solution sous la forme d'un polynôme du second degré"). Votre travail consiste à vérifier qu'elle est bien une solution. Pour cela, il faut :

• Calculer la dérivée de la fonction proposée : u'(x).
• Remplacer y par u(x) et y' par u'(x) dans l'équation différentielle.
• Vérifier que l'égalité u'(x) = a*u(x) + f(x) est vraie pour tout x.

Cette étape est purement technique mais absolument cruciale. Une erreur de calcul ici invalidera toute la suite de la résolution.

Étape 2 : Résoudre l'Équation Homogène Associée y' = ay

Cette étape nous ramène au premier cas étudié. On ignore le second membre f(x) et on résout l'équation y' = ay. Comme nous l'avons vu, les solutions sont de la forme :

y_h(x) = C * e^(ax), avec C ∈ ℝ.

Étape 3 : Additionner pour Obtenir la Solution Générale

Le théorème principal de ce chapitre nous assure que toutes les solutions de l'équation complète (E) s'obtiennent en additionnant la solution particulière u(x) trouvée à l'étape 1 aux solutions de l'équation homogène trouvées à l'étape 2.

La forme de la solution générale est donc :

S(x) = y_h(x) + u(x) = C * e^(ax) + u(x)

Cette formule est la conclusion de votre résolution. Elle représente une famille infinie de fonctions solutions, indexées par la constante C.

Le Problème de Cauchy : Trouver la Solution Unique

Une question naturelle se pose : si nous avons une infinité de solutions, laquelle décrit la situation physique ou concrète que nous modélisons ? Pour isoler une unique solution, il nous faut une information supplémentaire. Cette information est appelée une condition initiale (ou "point de passage" comme mentionné dans la fiche).

Un problème avec une équation différentielle et une condition initiale est appelé un problème de Cauchy. La condition se présente sous la forme :

y(x₀) = y₀

Cela signifie que l'on impose à la courbe de la fonction solution de passer par un point précis du plan, le point de coordonnées (x₀, y₀).

La méthode pour trouver la solution unique est la suivante :

1. Trouver la solution générale de l'équation différentielle, qui dépend d'une constante C. Par exemple, S(x) = C * e^(ax) + u(x).
2. Utiliser la condition initiale pour trouver la valeur de C. On remplace x par x₀ et y(x) par y₀ dans l'expression de la solution générale.
3. On obtient une équation simple dont la seule inconnue est C : y₀ = C * e^(ax₀) + u(x₀).
4. Résoudre cette équation pour trouver la valeur de C.
5. Remplacer la valeur de C trouvée dans l'expression de la solution générale pour obtenir l'unique solution au problème.

Cette dernière étape est essentielle pour de nombreuses applications. Par exemple, en physique, si y(t) est la position d'un objet, la condition initiale y(0) = y₀ correspond simplement à sa position de départ à l'instant t = 0.

Synthèse et Prochaines Étapes

Ce tour d'horizon détaillé des équations différentielles linéaires du premier ordre vous a fourni les clés pour comprendre la structure logique de ce chapitre. Retenez les points essentiels :

• Trois types d'équations à maîtriser : y' = ay, y' = ay + b, et y' = ay + f(x).
• Le principe de superposition : la solution générale est toujours la somme de la solution générale de l'équation homogène associée et d'une solution particulière.
• L'importance de la condition initiale (problème de Cauchy) pour passer d'une famille de solutions à une solution unique.

Cette analyse approfondie a pour but de compléter et d'éclairer la fiche de cours synthétique proposée par Galilee.ac. Pour une maîtrise parfaite, il est indispensable de confronter cette théorie à la pratique. Nous vous encourageons vivement à télécharger notre fiche de cours complète. Vous y trouverez des exemples d'application concrets, des exercices corrigés et des points de méthode qui vous aideront à vous préparer efficacement aux interrogations et à l'épreuve du baccalauréat.