Exercice 1
Exercice 2

Introduction

Allez les amis, on est parti pour r√©soudre un autre cas d'exercice, celui o√Ļ on vous demande de r√©soudre une √©quation du style \(y' = y + f(x)\). Sauf qu'on ne va pas utiliser la technique qui consiste √† dire : je trouve une solution particuli√®re puis une solution de \(y' = y\) puis j'additionne. Mais on va passer par une √©quivalence, comme dans l'√©nonc√© qui s'affiche juste l√†. C'est une petite variation, on va apprendre √† le faire tranquillement et ensuite vous vous en donnerez √† cŇďur joie. On se fait √ßa tout de suite.

Présentation de l'exercice

Alors, l'exercice se présente de la manière suivante : vous avez une équation différentielle \(y' + y = 2 \cos(x)\). Jusque là, rien de fou. On vous demande ensuite premièrement de montrer que \(G(x)\) qui vaut \(\cos(x) + x\) est une solution particulière. Ce que vous faites à chaque fois que vous avez un exercice, on va vous demander de trouver la solution d'une équation différentielle. Sauf que dans la question 2, au lieu d'avoir tout simplement résoudre \(y' + y = 0\), vous avez démontré que la solution de la fonction \(f\) est solution de \(e\) si et seulement si la fonction \(f - G\) est solution de \(y' + y = 0\).

Démonstration

Qu'est-ce que c'est que √ßa ? On ne va pas se laisser impressionner, nous. On va prendre comment le d√©montrer tr√®s facilement parce que c'est juste une autre technique de r√©solution o√Ļ on vous demande de red√©montrer une partie du cours que certains ont consid√©r√© comme une propri√©t√© qu'on pouvait utiliser. C'est-√†-dire que pour certains professeurs de maths et pour certains manuels, pour certains √©diteurs, cette propri√©t√© l√†, le fait que \(F\) soit solution aussi et seulement si \(f - G\) est solution, c'est un truc admis. Pour d'autres, ce n'est pas admis, il faut le d√©montrer √† chaque fois. Il y a plusieurs opinions, il y a plusieurs mani√®res de voir l'exercice. Nous, on a vu la premi√®re technique et on va voir la deuxi√®me maintenant. Premi√®re question : montrer que \(G(x)\) est une solution particuli√®re de \(e\). Donc moi, j'√©cris pour la premi√®re, si \(G\) est solution de \(e\), √ßa veut dire que j'ai le droit de prendre \(E\) et de remplacer \(y\) par \(G\). Du coup, a priori, √ßa veut dire que \(G' + G\) devrait √™tre √©gal √† \(2 \cos(x)\). On va le v√©rifier. Deuxi√®me question : d√©montrer que \(F\) est solution de \(e\) si et seulement si \(F - G\) est solution de \(y' + y = 0\). Donc ce qu'on vous demande de montrer en fait sur la question 2, c'est que \(F\) est solution de \(E\) si et seulement si, c'est √† dire strictement √©quivalent √† \(F - G\), donc cette fonction est solution de \(y' + y = 0\). Et maintenant, on va partir soit de l√†, soit de l√†, et en raisonnant par √©quivalence, on va arriver √† l'autre bout et la d√©monstration sera faite. Moi, ce que je vais faire, c'est que je vais partir de \(F - G\) est solution de \(y' + y = 0\). Donc √ßa, √ßa va √™tre mon point de d√©part. Donc je veux dire que \(F - G\) est solution de \(y' + y = 0\). Sauf qu'on a vu avant que \(G\) est solution de \(E\). Donc quand \(G' + G\), j'ai le droit de remplacer par \(2 \cos(x)\). Quand \(F' + F - G'\), j'ai le droit de remplacer par \(2 \cos(x)\). Donc moi, je vais faire appara√ģtre un \(G'\) en plus. Je vais dire que √ßa fait \(F' + F - G' + G = 2 \cos(x)\). Et √ßa, √ßa devrait faire \(2 \cos(x)\). Donc c'est vrai, donc \(G\) est bien solution de \(E\). Donc je suis parti de \(F - G\) est solution de \(y' + y = 0\), j'ai travaill√© par √©quivalence et je suis arriv√© √† \(F\) est solution de \(y' + y = 2 \cos(x)\). Du coup, les deux propositions \(F\) est solution de \(E\) et \(F - G\) est solution de \(y' + y = 0\) sont √©quivalentes. Il y a un si et seulement si, et c'est termin√©. Maintenant, vous avez fait cette d√©monstration. Donc √ßa, il faut la faire, c'est la question 2. Vous pouvez r√©pondre √† la question 3 et reprendre ce qu'on a appris avant. L'ensemble des solutions de \(E\) c'est une solution particuli√®re qu'on a trouv√© ici, on a vu que \(G\) √©tait une solution particuli√®re de \(E\), et la solution de \(E\) √† laquelle on a enlev√© ce terme-l√†, donc juste \(y' + y = 0\), et on va additionner ces deux r√©sultats. Donc pour la question 3, je vous rappelle qu'on cherche deux choses. On cherche premi√®rement une solution particuli√®re de \(E\) qu'on a trouv√©. Cette solution, c'est \(G(x)\) qui vaut \(\cos(x) + x\). C'est √ßa, la solution de \(E\) pour laquelle on aura enlev√© la fonction constante, donc juste \(y' + y = 0\), autrement dit \(y' = -y\). Et √ßa, on sait que √ßa va donner une solution qui est de la forme \(H(x) = k e^{-x}\) avec \(k\) un nombre r√©el. Du coup, je peux en conclure que la solution g√©n√©rale \(S(x)\) c'est tout simplement la somme des deux, donc \(H(x)\) auquel je vais rajouter la solution particuli√®re, donc \(\cos(x) + x\). Et √ßa me fait finalement \(k e^{-x} + \cos(x) + x\) avec \(k\) √©tant un nombre r√©el. Donc vous voyez que dans cet exercice, on en arrive au m√™me r√©sultat, sauf que pour la question 2, on doit passer par un si et seulement si qui est extr√™mement facile √† d√©montrer. Vous voyez que √ßa a pris genre 3 lignes et 4 coups et j'avais montr√© mon si et seulement si. √áa, √ßa tombe au contr√īle pour certains de vos profs. L'√©tape de la question 2, la seule qu'on a fait avec le si et seulement si, vous devez la faire √† chaque fois. Donc apprenez √† le faire. On part toujours de \(F - G\) est solution, on d√©veloppe, on d√©veloppe jusqu'√† ce qu'on arrive au bon endroit. On a mis des petits exercices en dessous, √† vous de jouer, vous √™tes des champions.