Introduction
Allons-y, les amis, nous allons découvrir une nouvelle technologie pour résoudre ces équations. Considérons l'équation \(y' = 2y - 5\). Nous n'allons pas utiliser la formule qui donne le résultat par cœur, nous allons la démontrer avec la nouvelle technique.
Pour mémoire, lorsque vous avez une équation de la forme \(y' = ay + b\), vous avez le droit d'utiliser la formule qui est sur votre droite, qui vous permet de donner exactement la solution de cette équation sans vous prendre la tête.
La nouvelle technique
Cependant, nous avons vu que lorsque nous avions une équation de la forme \(y' = ay + f(x)\), nous avions une technique qui consistait d'abord à dire : je cherche une solution particulière de mon équation, cette solution je vais la noter par exemple \(u(x)\). Ensuite, je vais chercher la solution de mon équation, sauf que j'aurais éliminé \(f(x)\), c'est-à-dire \(y' = ay\). Cela me donne une solution très simple que je connais par cœur, qui vaut \(k \cdot e^{ax}\) et que nous allons noter par exemple \(v(x)\). Enfin, je peux dire que ma solution générale est \(s(x) = u(x) + v(x)\).
Application de la technique
Regardons l'équation \(y' = y + f(x)\). Cela fonctionne par exemple lorsque \(f(x) = e^x\), lorsque \(f(x) = \sin(x)\), mais aussi lorsque \(f(x) = 3\), c'est-à-dire lorsque \(f\) est une constante. En fait, lorsque vous résolviez cela avec la formule \(e^{ax} - \frac{b}{a}\), c'était un cas particulier du cas où on a \(ay + f(x)\), c'est le cas particulier où cette fonction est constante et vaut 3.
Pour trouver une solution particulière, je vais appeler \(u(x)\). Ensuite, je vais résoudre ce système en éliminant ce qui m'embête, c'est-à-dire le terme constant. Ensuite, je vais faire la somme des deux résultats.
Le problème est de trouver la solution particulière. Si le professeur est sympa, il va vous la donner. Il va vous dire : première question, montrer que \(u(x) = 5x + 2\) est une solution de l'équation. Mais s'il n'est pas sympa, il va vous dire : trouver la fonction constante qui soit solution de l'équation.
Dans ce cas, votre \(u(x)\), la solution particulière, tout ce que vous savez, c'est que \(u(x)\) est constante. Par exemple, \(u(x) = c\), où \(c\) est un nombre réel. Nous allons prendre cette fonction, l'injecter dans l'équation, et cela va nous aider à trouver la valeur de \(c\).
Si \(u(x)\) est une constante et que \(u\) est solution de l'équation, cela signifie que \(u' = 2u - 5\). Si je remplace maintenant \(u'\) par la dérivée d'une constante, qui est 0, j'obtiens \(0 = 2c - 5\). En résolvant pour \(c\), j'obtiens \(c = \frac{5}{2}\). Donc, ma solution particulière est \(u(x) = \frac{5}{2}\).
Maintenant, je vais résoudre le même système en enlevant \(f(x)\), c'est-à-dire le terme constant. Pour la deuxième question, je vais résoudre \(y' = 2y\). La solution est \(v(x) = k \cdot e^{2x}\), où \(k\) est un nombre réel.
Enfin, je peux dire que la solution générale est \(s(x) = v(x) + u(x)\), c'est-à-dire \(s(x) = k \cdot e^{2x} + \frac{5}{2}\). Vous voyez que nous retrouvons exactement la formule que nous avions dans le cours, \(k \cdot e^{ax} - \frac{b}{a}\), où \(a = 2\) et \(b = -5\).
Conclusion
Vous voyez que ce que nous avons fait très simplement, certains professeurs vont vous demander de le faire de manière compliquée lors d'un contrôle. Aucun problème, vous savez le faire dorénavant. Entraînez-vous, cela fait toujours du bien. À vous de jouer, vous êtes des champions !