2. Dérivées composées avec racine

Introduction

Allez les amis, on enchaîne sur la dérivée de fonctions composées. Cette fois-ci, nous allons travailler avec des fonctions composées avec des racines et du \(x\) à l'intérieur. Comment arrive-t-on à cela en terminale ? On voit ça tout de suite, ça prend une minute. C'est parti pour dériver une fonction composée avec la fonction racine.

Formule de dérivation

Deux options s'offrent à nous : soit on utilise la formule compliquée que personne n'a envie d'utiliser, soit on apprend par cœur la formule qui s'affiche là et qui dit que quand j'ai racine d'une fonction \(u\), pour dériver l'ensemble, j'ai juste à calculer \(u'\) divisé par deux fois racine de \(u\). Dans notre cas, on est d'accord pour dire que notre \(g(x)\) c'est comme si j'avais trois racines de \(u(x)\) avec mon \(u(x)\) qui vaut \(5x^2 + 1\). Donc si je cache \(3g\), ce qui s'affiche dans la fonction est la racine de \(x\).

Calcul de la dérivée

Pour dériver \(3g\), on a deux options : soit vous vous dites que la fonction n'est pas en fait racine de \(x\) mais trois racines de \(x\), soit vous vous dites : "Attendez, quand je dérivais \(2x\), comment est-ce que je procédais ?". Quand je dérivais \(x^2\), ça me donnait \(2x\), et je multipliais tout ça par deux. Autrement dit, quand j'ai un nombre, une constante qui multiplie une fonction (comme \(2\) qui multiplie \(x^2\)), on retrouve cette même constante qui multiplie la dérivée. Autrement dit, ce trois là, quand je vais dériver la fonction \(g(x)\), il ne sera pas affecté par ma dérivation. Donc, ma dérivée \(g'(x)\) sera tout simplement trois fois la dérivée de racine de \(u(x)\). Or, la dérivée de racine de \(u(x)\) est \(u'\) sur deux fois racine de \(u\). Donc ma dérivée \(g'(x)\) sera trois fois \(u'\) sur deux fois racine de \(u\). Donc \(g'(x) = 3 \times 10x / 2 \times \sqrt{5x^2 + 1}\). Et bingo, j'ai ma dérivée. Si je suis sympa, je peux la simplifier un peu en disant que \(g'(x) = 15x / \sqrt{5x^2 + 1}\). Et si je suis encore plus sympa, pour éviter d'embêter mon prof, je fais ça. Voilà, vous avez un petit exercice sur YouTube et vous avez des exercices en dessous. À vous de jouer, vous êtes des champions !