📖 Fiche résumée

Introduction au Dénombrement : L'Art de Compter

Le dénombrement, ou l'analyse combinatoire, est une branche fascinante et fondamentale des mathématiques qui s'intéresse à la manière de compter les éléments d'ensembles finis. Loin d'être une simple énumération, le dénombrement fournit des outils puissants pour quantifier des possibilités, calculer des probabilités et résoudre des problèmes complexes dans de nombreux domaines tels que l'informatique, la génétique, la statistique et la théorie des jeux. Ce chapitre, crucial pour les élèves de Terminale en spécialité mathématiques, pose les bases de la modélisation de situations concrètes où il faut déterminer le nombre de manières de choisir, d'arranger ou de combiner des objets.

Cette fiche de révision a pour objectif de synthétiser les concepts clés, les formules et les raisonnements essentiels pour maîtriser le dénombrement. Nous aborderons les principes fondamentaux, comme les principes additif et multiplicatif, avant de plonger dans les outils spécifiques que sont les k-uplets, les arrangements, les permutations et les combinaisons. L'enjeu principal est d'apprendre à identifier la nature d'un problème de dénombrement pour appliquer la méthode de calcul appropriée. Notre résumé détaillé vous guidera à travers cette logique, mais ne se substitue pas à la fiche de cours complète qui offre une vision schématique et synthétique, idéale pour une mémorisation rapide avant un examen.

Les Principes Fondamentaux du Dénombrement

Avant d'aborder les formules complexes, il est impératif de comprendre les deux principes logiques qui sous-tendent tous les raisonnements en dénombrement.

Le Principe Multiplicatif (Règle du produit)

Le principe multiplicatif s'applique lorsqu'une expérience ou une situation se déroule en plusieurs étapes successives et indépendantes. Si une première étape peut se réaliser de n₁ manières différentes, qu'une deuxième étape peut se réaliser de n₂ manières différentes (quelle que soit l'issue de la première), et ainsi de suite jusqu'à une k-ième étape se réalisant de nₖ manières, alors le nombre total de façons de réaliser l'expérience complète est le produit du nombre de possibilités à chaque étape.

Nombre total de possibilités = n₁ × n₂ × ... × nₖ

Exemple concret : Un restaurant propose un menu avec 3 entrées, 4 plats principaux et 2 desserts. Pour composer un menu complet (entrée, plat, dessert), un client dispose de 3 × 4 × 2 = 24 choix différents. Chaque choix d'entrée ouvre la porte à 4 choix de plats, et chaque combinaison entrée-plat ouvre la porte à 2 choix de desserts. On multiplie les possibilités car les choix sont successifs et combinés.

Le Principe Additif (Règle de la somme)

Le principe additif est utilisé lorsque l'on doit choisir entre plusieurs options qui sont mutuellement exclusives, c'est-à-dire disjointes. Si une tâche peut être accomplie en utilisant une méthode parmi n₁ possibilités, OU une autre méthode parmi n₂ possibilités, et que ces deux ensembles de méthodes n'ont aucun élément en commun, alors le nombre total de manières d'accomplir la tâche est la somme des possibilités de chaque méthode.

Nombre total de possibilités = n₁ + n₂ + ... + nₖ

Exemple concret : Pour voyager de Paris à Marseille, une personne peut choisir entre 5 vols différents, 3 trains différents ou 2 trajets en bus. Les options (avion, train, bus) sont disjointes. Le nombre total de moyens de transport disponibles est donc de 5 + 3 + 2 = 10. On additionne les possibilités car on choisit une option OU une autre, mais pas une combinaison des deux.

Choisir et Ordonner : Les Outils du Dénombrement

La majorité des problèmes de dénombrement consiste à choisir un certain nombre d'éléments (k) parmi un ensemble plus grand (n). Pour déterminer la bonne formule à utiliser, il faut se poser une série de questions stratégiques, comme le suggère la structure arborescente de notre fiche de cours.

La Question Clé : L'Ordre a-t-il de l'Importance ?

C'est la première et la plus importante question à se poser. La réponse divise les problèmes en deux grandes catégories :

• Si l'ordre compte : On parle d'arrangements, de permutations ou de k-uplets. Un tirage (a, b) est différent de (b, a). Pensez à un podium de course (l'ordre d'arrivée est crucial), un mot de passe ou un numéro de téléphone.
• Si l'ordre ne compte pas : On parle de combinaisons. Un tirage {a, b} est identique à {b, a}. Pensez à une main de cartes au poker (peu importe l'ordre dans lequel vous recevez les cartes) ou à la formation d'un comité (seuls les membres comptent, pas leur ordre de sélection).

Quand l'Ordre Compte : Arrangements et Permutations

Dans cette catégorie, la disposition des éléments sélectionnés est primordiale.

Les k-uplets (ou p-listes) : Tirages Ordonnés avec Remise

Un k-uplet est une suite ordonnée de k éléments choisis parmi n, où chaque élément peut être choisi plusieurs fois (remise). C'est le modèle le plus simple de tirage ordonné.

• Définition : Choix successif et ordonné de k éléments parmi n avec remise.
• Formule : Le nombre de k-uplets est nᵏ.
• Explication : Pour le premier élément, on a n choix. Comme il y a remise, pour le deuxième élément, on a encore n choix, et ainsi de suite pour les k éléments. D'après le principe multiplicatif, on a n × n × ... × n (k fois).
• Exemple : Combien de codes à 4 chiffres peut-on former avec les chiffres de 0 à 9 ? Il s'agit de choisir 4 éléments (k=4) parmi 10 (n=10), avec remise (on peut répéter les chiffres) et où l'ordre est important ('1234' est différent de '4321'). Le nombre de codes est 10⁴ = 10 000.

Les Arrangements : Tirages Ordonnés sans Remise

Un arrangement est une suite ordonnée de k éléments distincts choisis parmi n. La principale différence avec les k-uplets est l'absence de remise.

• Définition : Choix successif et ordonné de k éléments distincts parmi n sans remise.
• Formule : Le nombre d'arrangements de k éléments parmi n, noté Aₙᵏ, est n! / (n-k)!.
• Explication : Pour le premier élément, on a n choix. Pour le deuxième, comme il n'y a pas de remise, on n'a plus que n-1 choix. Pour le k-ième, on a n-k+1 choix. Le nombre total est n × (n-1) × ... × (n-k+1), ce qui correspond à la formule factorielle.
• Exemple : Dans une course avec 10 participants, combien de podiums (1er, 2e, 3e) sont possibles ? On choisit 3 personnes (k=3) parmi 10 (n=10). L'ordre est crucial et il n'y a pas de remise (une personne ne peut pas être à la fois 1ère et 2e). On a A₁₀³ = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720 podiums possibles.

Les Permutations : Ordonner un Ensemble Complet

Une permutation est un cas particulier d'arrangement où l'on choisit et ordonne tous les éléments de l'ensemble (k=n).

• Définition : Une permutation d'un ensemble de n éléments est un arrangement de ces n éléments. Il s'agit de toutes les manières possibles de classer ces n objets.
• Formule : Le nombre de permutations de n éléments est n! (factorielle n).
• Explication : C'est un arrangement avec k=n. Aₙⁿ = n! / (n-n)! = n! / 0! = n! (car 0! = 1 par convention).
• Exemple : De combien de manières peut-on ranger 5 livres différents sur une étagère ? Il s'agit de trouver tous les ordres possibles pour ces 5 livres. Le nombre de manières est 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Cas Particulier : Les Permutations avec Répétitions (Anagrammes)

Parfois, les éléments que l'on souhaite permuter ne sont pas tous distincts. C'est le cas typique des anagrammes d'un mot contenant des lettres répétées.

• Définition : Nombre de manières d'ordonner n objets où certains sont identiques.
• Formule : Si l'ensemble de n objets contient n₁ objets identiques de type 1, n₂ objets identiques de type 2, ..., nₖ objets identiques de type k, le nombre de permutations distinctes est n! / (n₁! × n₂! × ... × nₖ!).
• Exemple : Combien d'anagrammes peut-on former avec le mot 'GALILEE' ? Il y a 7 lettres (n=7). La lettre 'L' est répétée 2 fois (n₁=2) et la lettre 'E' est répétée 2 fois (n₂=2). Le nombre d'anagrammes est 7! / (2! × 2!) = 5040 / (2 × 2) = 1260.

Quand l'Ordre ne Compte Pas : Les Combinaisons

Ici, on ne s'intéresse qu'aux sous-ensembles que l'on peut former, sans se préoccuper de l'ordre dans lequel les éléments ont été choisis.

Définition et Formule des Combinaisons

Une combinaison est un choix de k éléments parmi n où l'ordre n'a aucune importance. Il s'agit de compter le nombre de sous-ensembles de taille k d'un ensemble de taille n.

• Définition : Choix simultané (ou non ordonné) de k éléments distincts parmi n.
• Formule : Le nombre de combinaisons, noté Cₙᵏ ou (n k) (lire 'k parmi n'), est n! / (k! × (n-k)!).
• Explication : On part du nombre d'arrangements Aₙᵏ. Pour chaque ensemble de k éléments choisis, il existe k! façons de les ordonner (permutations). Comme l'ordre ne compte pas dans les combinaisons, on doit diviser le nombre d'arrangements par k! pour éliminer ces redondances. Ainsi, Cₙᵏ = Aₙᵏ / k!.
• Exemple : Une classe de 25 élèves doit élire un comité de 3 délégués. Combien de comités différents peut-on former ? On choisit 3 élèves (k=3) parmi 25 (n=25). L'ordre n'importe pas (un comité {Alice, Bob, Chloé} est le même que {Bob, Chloé, Alice}). Le nombre de comités est (25 3) = 25! / (3! × (25-3)!) = 25! / (3! × 22!) = (25 × 24 × 23) / (3 × 2 × 1) = 2300.

Synthèse : Comment Choisir la Bonne Formule ?

La clé du succès en dénombrement est l'analyse rigoureuse du problème. Notre fiche de cours visuelle vous aide à naviguer ces choix rapidement. Voici la démarche à suivre, sous forme textuelle :

1. Lire attentivement l'énoncé : Identifiez l'ensemble de base (n éléments) et le nombre d'éléments à choisir (k éléments).
2. Question 1 : L'ordre est-il important ?
   • Oui : Le résultat est une liste, une séquence, un podium, un mot. On se dirige vers les arrangements, permutations ou k-uplets.
   • Non : Le résultat est un groupe, un comité, une main de cartes. On se dirige vers les combinaisons.
3. Question 2 (si l'ordre est important) : Y a-t-il des répétitions possibles ? (Tirage avec ou sans remise)
   • Oui (avec remise) : On utilise la formule des k-uplets (nᵏ).
   • Non (sans remise) : On se dirige vers les arrangements ou les permutations.
4. Question 3 (si tirage ordonné et sans remise) : Est-ce qu'on utilise tous les éléments de l'ensemble de départ (k=n) ?
   • Oui (k=n) : Il s'agit d'une permutation (n!).
   • Non (k Il s'agit d'un arrangement (n! / (n-k)!).