5. Dénombrer avec des permutations

Introduction

Allons-y, les amis, nous allons apprendre à reconnaître quand utiliser la formule des permutations en dénombrement. On commence tout de suite.

Exemple de permutation : ordre de départ d'une course

Supposons que vous ayez un exercice qui vous dit : "On a un groupe de 25 skieurs et on doit établir un ordre de départ pour une course. Combien y a-t-il d'ordres de départ possibles ?" Comme d'habitude, on se retrouve face à un double problème. Le premier est de trouver quelle est la formule qu'on va utiliser et le deuxième est de déterminer qui sont \(k\) et \(n\). Vous savez que d'habitude, dans les formules de dénombrement, on a toujours un \(k\) et un \(n\). Par exemple, \(n^k\), \(n!\) sur \((n-k)!\), etc. Pour reconnaître une permutation, on peut utiliser la fiche qu'on a faite. Vous vous dites : "Quand je fais une liste de départ, sachant que j'ai 25 skieurs, je vais aller piocher les skieurs dans mon ensemble de skieurs participants. Donc combien d'ensembles ai-je ? Un seul. Est-ce que l'ordre compte ? Oui, évidemment, par définition, l'ordre compte. Est-ce qu'il y a remise ? Non, je ne peux pas prendre un skieur, le mettre dans ma liste de départ, puis le reprendre. Est-ce que je travaille avec tout l'ensemble ou seulement une partie de l'ensemble ? Sur mon stock de 25 skieurs, je vais tous les prendre." Donc, je vais utiliser la formule des permutations, qui est \(n!\). Dans mon cas, c'est \(25!\). Donc la réponse à ce que vous cherchez, c'est \(25!\).

Exemple de permutation : anagrammes

Un autre moyen de voir les permutations est à travers les anagrammes. Par exemple, combien y a-t-il d'anagrammes du mot "maths" ? Un anagramme est un mot qui utilise les mêmes lettres qu'un autre mot, mais dans un ordre différent. Donc, prenons le mot "maths". J'ai 5 lettres. Est-ce que je travaille sur plusieurs ensembles ? Non, je travaille sur un seul ensemble, celui de ces cinq lettres, M, A, T, H, S. Est-ce que l'ordre compte ? Oui, c'est le principe de l'anagramme. Est-ce qu'il y a remise ? Non, je veux utiliser exactement ces lettres, donc je n'ai pas le droit d'utiliser deux fois la même. Est-ce que c'est tout l'ensemble ou est-ce que c'est seulement une partie ? Comme c'est un anagramme, je vais prendre ces cinq lettres et m'en servir pour faire un mot, donc je vais prendre tout l'ensemble. Du coup, le nombre d'anagrammes du mot "maths" est \(5!\).

Conclusion

Nous allons faire une vidéo spéciale sur les anagrammes. En attendant, nous vous avons préparé des petits exercices sur les permutations. Faites-les, et nous continuerons ensuite avec une compétence un peu plus difficile : les permutations quand il y a des éléments semblables dans votre ensemble. À vous de jouer, les champions !