2. Dénombrer avec des combinaisons

Introduction

Bonjour à tous, nous allons apprendre à reconnaître tous les cas où il faut utiliser la formule des combinaisons en dénombrement.

Exemple 1 : Formation d'un groupe d'élèves

Prenons un exemple : un groupe de trois élèves de terminale qui vont au CDI. De combien de manière différente peut-on former ce groupe sachant qu'il y a vingt-quatre élèves dans la classe ? Pour répondre à cette question, il faut avoir une vision d'ensemble sur le chapitre des dénombrements. La première question à se poser est : est-ce qu'on travaille avec plusieurs ensembles ou est-ce qu'on travaille avec un seul ensemble ? Dans ce cas, l'ensemble dans lequel vous allez piocher vos éléments c'est l'ensemble des élèves de cette classe. Il n'y a qu'une seule classe donc on travaille sur un seul ensemble. La deuxième question est : est-ce que l'ordre compte ? C'est une question très importante. Si l'ordre compte, alors un triangle et un carré ne sont pas la même chose qu'un carré et un triangle. Si l'ordre ne compte pas, un triangle et un carré sont la même chose qu'un carré et un triangle. Dans notre exemple, l'ordre ne compte pas. Un groupe constitué de Paul, Jeanine et Jeanneau est le même que si c'est Jeanine, Paul et Jeanneau. Donc, l'ordre ne compte pas et on utilise la formule des combinaisons. Pour la calculer, on va faire \( C_{24}^{3} \) (24 combinaisons de 3).

Exemple 2 : Organisation d'un tournoi sportif

Prenons un autre exemple : un tournoi sportif compte huit équipes. Chaque équipe doit rencontrer toutes les autres une seule fois. Combien doit-on organiser de matches ? Dans ce cas, l'ensemble est l'ensemble des huit équipes de foot. On doit choisir deux équipes qui vont jouer. L'ordre ne compte pas car France-Belgique et Belgique-France sont considérés comme le même match. Donc, on utilise la formule des combinaisons et on calcule \( C_{8}^{2} \) (8 combinaisons de 2).

Exemple 3 : Grilles de loto

Enfin, prenons l'exemple du loto. Il y a 49 numéros et on doit en choisir 6 pour faire une grille. L'ensemble est l'ensemble des numéros du loto et on doit choisir six numéros. L'ordre ne compte pas car au loto, on ne donne pas les numéros dans l'ordre. Donc, on utilise la formule des combinaisons et on calcule \( C_{49}^{6} \) (49 combinaisons de 6). En conclusion, le dénombrement est une question de logique et de compréhension des ensembles et de l'ordre. Entraînez-vous avec d'autres exemples pour bien maîtriser ce concept.