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11. Factoriser et simplifier des factorielles
Conditions d'achèvement
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Bonsoir, je vous remercie pour vos explications mais je n'ai pas vraiment compris ce cours ci
bonsoir
vraiment merci!
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Avec plaisir !
Introduction
Allons-y, 1 million de personnes sont prêtes pour une petite compétence rapide : comment factoriser ou simplifier une expression avec un facteur. Il y a quelques choses à retenir, alors commençons tout de suite.Comprendre la factorielle
Pour factoriser des factorielles, ce n'est vraiment pas compliqué. Il faut se souvenir de ce qui est défini par une factorielle. C'est-à-dire que la factorielle de quelque chose est le produit de tous les nombres entiers avant ce "quelque chose". Par exemple, la factorielle de \(n\) s'écrit \(1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n\). Donc, quand j'ai une factorielle \(n\) fois un nombre \(a\), je vais multiplier \(a\) par tous les nombres entiers jusqu'à \(n\), et en multipliant \(a\) par \(n+1\), je me retrouve avec \(1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times (n + a)\). Donc, je me retrouve avec le produit de tous les nombres entiers de 1 jusqu'à \(n + a\). Par définition, c'est la factorielle de \(n + a\). Par exemple, quand vous prenez la factorielle de \(n\) et que vous la multipliez par \(a\), cela devient la factorielle de \(n + 1\). Ce sont des astuces comme celle-ci qui sont vraiment cool et qui aident à comprendre les factorielles.Factorisation et simplification
Maintenant, regardons comment simplifier une expression comme \(\frac{{n+1}!}{{n+2}!\). En utilisant la définition de la factorielle, on peut développer les deux termes. La factorielle de \(n+1\) est \(1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times (n+1)\) et la factorielle de \(n+2\) est \(1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times (n+2)\). En simplifiant, on peut supprimer tous les termes communs, il ne reste plus que \(n+2\) au dénominateur. Donc, au final, après avoir tout simplifié, il reste \(\frac{1}{{n+2}}\). De même, pour \(\frac{{n+2}!}{{n+1}!\), on peut simplifier pour obtenir \(n+2\). Enfin, pour \((n+1)! + n!(n+1)\), on peut utiliser le fait que \((n+1)! = (n+1) \times n!\) pour factoriser et obtenir \((n+2) \times n!\).Conclusion
Voilà, c'est terminé. Entraînez-vous, nous avons mis plein de petits exercices en dessous pour que vous appreniez à manipuler ces factorielles. Ce sont le genre de choses qui peuvent tomber lors d'un contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions !Nouvelle recrue
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